解密 08 统计与统计案例 核心考点 读高考设问知考法 命题解读 【2013 年新课标 1】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地 以空间几何体为载 区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、 体考查空间角是高 初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情 考命题的重点，常 况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) 与空间线面关系的 【2019 新课标Ⅰ】某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些 抽样方法 学生编号为 1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距 抽取 100 名学生进行体质测验．若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学 生中被抽到的是（ ） 【2018 新课标Ⅲ】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的 评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查， 可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最 合适的抽样方法是________． 用样本估 【2020·新高考海南卷】我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有 计总体 序推进复工复产，下面是某地连续 11 天复工复产指数折线图，下 列说法正确的是(　　) 【2019 新课标Ⅱ卷】演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始 评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比， 不变的数字特征是(　　) 【2018 新课标Ⅰ卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收 入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化 情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得 到如图所示的饼图：则下面结论中不正确的是(　　) 【2019 新课标Ⅲ卷】试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每 组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶 证明相结合，热点 为二面角的求解， 均以解答题的形式 进行考查，难度主 要体现在建立空间 直角坐标系和准确 计算上. 液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后 用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据 分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比 不低于 5.5”，根据直方图得到 P(C)的估计值为 0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值； (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该 组区间的中点值为代表). 【2020 新课标Ⅰ卷】某作物种子的发芽率 y 和温度 x(单位：℃)的关 系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 (xi ，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在 10 ℃至 40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和 温度 x 的回归方程类型的是(　　) 【2020 新课标Ⅱ】为调查该地区某种野生动物 数量，将其分成面 积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 回归分析 个作为样区，调查得到样本数据 ，其中 和 在实际问 题中的应 分别表示第 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的 用 数量，并计算得 ， ， ， ， ． （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的 估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； （2）求样本 独立性检验 的相关系数（精确到 0.01）； 【2020·新高考山东、海南卷】为加强环境保护，治理空气污染，环 境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100 天空气中的 PM2.5 和 SO2 浓度(单位：μg/m3)，得下表： (1)略；(2)根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表： (3)根据(2)中的列联表，判断是否有 99%的把握认为该市一天空气 中 PM2.5 浓度与 SO2 浓度有关？ 核心考点一 抽样方法 抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性， 但又各有其特点和适用范围. 1.【2013 年新课标 1】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调 查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异 不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 ) C、按学段分层抽样 D、系统抽样 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段 分层抽样，故选 C. 2．【2019 新课标Ⅰ】某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这 些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验．若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽 到的是（ ） A．8 号学生 B．200 号学生 C．616 号学生 D．815 号学生 【解析】由已知将 1000 名学生分成 100 个组，每组 10 名学生，用系统抽样，46 号学生被抽到，所以第一 组抽到 6 号，且每组抽到的学生号构成等差数列 ，解得 则 ，不合题意；若 ，符合题意；若 ，则 ，公差 ，解得 ，所以 ，不合题意；若 ，不合题意．故选 C． ，若 ， 3．【2018 新课标Ⅲ】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评 价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的 抽样方法是________． 【解析】因为不同年龄的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不 同年龄段客户对公司服务的客观评价．故填：分层抽样． 1.总体由编号为 01，02，…，49，50 的 50 个个体组成，利用下面的随机数表选取 6 个个体，选取方法是 从随机数表第 6 行的第 9 列和第 10 列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第 4 个个体的编号为( ) 附：第 6 行至第 9 行的随机数表 2748　6198　7164　4148　7086　2888　8519　1620 7477　0111　1630　2404　2979　7991　9683　5125 3211　4919　7306　4916　7677　8733　9974　6732 2635　7900　3370　9160　1620　3882　7757　4950 A.3 B.19 C.38 D.20 【 解 析 】 由 题 意 知 ， 编 号 为 01 ～ 50 的 个 体 才 是 需 要 的 个 体 . 由 随 机 数 表 依 次 可 得 41，48，28，19，16，20，……故第 4 个个体的编号为 19.故选 B. 2.在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都进行网上上课.我校高一、高二、高三共有学生 1 800 名，为了了解 同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这 1 800 名学生中抽取一个容量为 72 的样本. 若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为(　　) A.800 B.750 C.700 D.650 【解析】设从高三年级抽取的学生人数为 2x 人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为 2x－2，2x－4. 由题意可得 2x＋(2x－2)＋(2x－4)＝72，∴x＝13.设我校高三年级的学生人数为 N，且高三抽取 26 人，由分 层抽样，得＝，∴N＝650(人).故选 D. 核心考点二 用样本估计总体 统计中的四个数据特征： (1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据. (2)中位数：在样本数据中，将数据按大小顺序排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间 两个数据的平均数作为中位数. (3)平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn). (4)方差与标准差. s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]， s＝. 3.直方图的两个结论 (1)小长方形的面积＝组距×＝频率. (2)各小长方形的面积之和等于 1. 1.【2020·新高考海南卷】我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续 11 天复工复产指数折线图，下列说法正确的是(　　) A.这 11 天复工指数和复产指数均逐日增加 B.这 11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量 C.第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80% D.第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量 【解析】由图可知，第 1 天到第 2 天复工指数减少，第 7 天到第 8 天复工指数减少，第 10 天到第 11 天复工 指数减少，第 8 天到第 9 天复产指数减少，故 A 错误；由图可知，第一天的复产指数与复工指数的差大于 第 11 天的复产指数与复工指数的差，所以这 11 天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故 B 错误； 由图可知，第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%，故 C 正确；由图可知，第 9 天至第 11 天复产指数 增量大于复工指数的增量，故 D 正确；故选 CD. 2. 【 2020· 天 津 卷 】 从 一 批 零 件 中 抽 取 80 个 ， 测 量 其 直 径 ( 单 位 ： mm) ， 将 所 得 数 据 分 为 9 组 ： [5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽 取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为(　　) A.10 B.18 C.20 D.36 【解析】因为直径落在区间[5.43，5.47)内的频率为 0.02×(6.25＋5.00)＝0.225，所以个数为 0.225×80＝18.故 选 B. 3.【2019 新课标Ⅲ卷】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机 分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的 溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据 试验数据分别得到如下直方图： 记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P(C)的估计值为 0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；