高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教 A 版 2019 必修第一 册) 4.5　函数的应用(二) 【考点梳理】 考点一：函数的零点 对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程 f(x)＝0 有实数解⇔函数 y＝f(x)有零点⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点． 知识点二：函数零点存在定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间 (a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的解． 重难点技巧：用二分法求方程的近似解 考点三：二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系， 可用二分法来求方程的近似解． 考点四：用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 1．确定零点 x0 的初始区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点 c. 3．计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若 f(c)＝0(此时 x0＝c)，则 c 就是函数的零点； (2)若 f(a)·f(c)<0(此时 x0∈(a，c))，则令 b＝c； (3)若 f(c)·f(b)<0(此时 x0∈(c，b))，则令 a＝c. 4．判断是否达到精确度 ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤(2)～(4)． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？ 精确度上来判断． 重难点技巧：函数模型的应用 考点五：函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数型函数模型 对数型函数模型 幂函数型模型 函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) f(x)＝＋b(k，b 为常数且 k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1) f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0) 考点六：应用函数模型解决问题的基本过程 1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3．求模——求解数学模型，得出数学模型； 4．还原——将数学结论还原为实际问题． 【题型归纳】 题型一：函数零点存在定理 1．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）下列区间中，包含函数 A．  3, 4  B．  2,3 C．  1, 2  D． 2．（2020·福建莆田市·莆田二中高一期末）已知实数 a ， b 满足 2 间是( A． 3 2 1 x 的零点的是（  2, 1 B．  1, 0  C．  0,1  1，2  B．  2，3  C． b f  x  ax  x  b ， 3  2 则函数 的零点所在区 D．  1, 2  2 1  ln 的零点所在的大致区间为（ ）. x x  3，4  ）  0,1 ) 3．（2021·长沙市明德中学高一开学考试）函数 f  x   A． a f  x   log 1 x  D．  1，2  与  2， 3 题型二：函数的零点分布问题（参数） �3x  3 , x �1 � f ( x)  � 3 2 2 4．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）已知函数 �lg( x  1) , x  1 ，若方程 f ( x)  af ( x)   0 有 4 个解 � 3 时，实数 a 的取值范围为（ ） �2 6 5 � �7 � , ��� , �� � � A． � 3 3 � �3 � �2 6 5 � � , � � B． � �3 3� 5 � � ,2� C． � 3 � � �2 6 5 � � , ��(2, �) D． � � 3 3� �x  4, x � f  x   �2 5．（2021·江西高安中学高一月考）已知  �R ，函数 �x  4 x  3, x   ，若函数图像与 x 轴有两个交点，则 实数  的取值范围是（ A．  4, � ） B．  3, � C． 6．（2020·南京市第十三中学高一月考）已知 则实数 t 的取值范围是 （ A．(－1，1]  1,3 U  4, � f  x  =( x - 2) x +1 D．  1, 4  ，若关于 x 的方程 f  x  =x+t 有三个不同的实数解， ） B．[－3，2) C．(－1，2) D．(－3，1) 题型三：用二分法求函数 f(x)零点近似值 7．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）利用二分法求方程 A． (0,1) B． (1, 2) 8．（2020·淮北市树人高级中学）若 如下表： C． (2,3) f  x   x3  x 2  2 x  2 log 3 x  3  x 的近似解，可以取的一个区间是（ ） D． (3, 4) 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据 f ( 1) =- 2 f  1.5   0.625 f  1.25   0.984 f  1.375  0.260 f  1.438  0.165 f  1.4065   0.052 3 2 那么方程 x  x  2 x  2  0 的一个近似根（精确到 0.1）为（ A．1.2 B．1.3 C．1.4 9．（2021·定远县育才学校高一期中（理））设函数 程中，计算得到 A． C． f  1  0 ， f  3  0 ） D．1.5 f ( x)  4 x 3  x  8 ，用二分法求方程 4 x3  x  8  0 近似解的过 ，则方程的近似解落在区间（　　）  1,1.5  B．  2, 2.5 D．  1.5, 2   2.5,3 题型四：函数与方程的综合问题 �lgx , 0  x �10 � f ( x)  � 1  x  6, x  10 ，若 f（a）＝f（b）＝f（c）且 a，b，c 10．（2020·江西省兴国县第三中学高一月考）函数 � �2 互不相等，则 abc 的取值范围是（　　） A．（1，10） B．（10，12） C．（5，6） D．（20，24） �  x 2  2 x, x �0 � f  x  � 11．（2021·湖南高一期末）已知函数 ，若函数 有 4 个零点，则 的取值 �log 1 x , x  0 g  x  f  x  2  m � 2 m 范围为（ A．  0,1 ） B．  1, 0  C．  1,3 12．（2021·全国高一专题练习）已知 k �R ，函数 上有两个不同的零点，则 k 的取值范围是（ ） D． f  x   x 2  4  x 2  kx  2,3 的定义域为 R ，若函数 f  x 在区间  0, 4  A． 7  k  2 C． 7  k  0 B． k  7 D． 2  k  0 题型五：应用函数模型（对数函数与指数函数） 13．（2021·上海）某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校 2019 年全年投入科研经费 1 300 万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长 12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过 2 000 万元的 年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)（ A．2022 年 B．2023 年 ） C．2024 年 D．2025 年 14．（2021·上海徐汇·高一期末）人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级 d ( x) （单位：dB）与声音强度 x （单位： W / m 2 ）满足 d ( x )  9 lg x ，一般两人小声交谈时，声音的等级约为 54 dB，在有 40 人的课堂上讲 1�1013 课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的 10 倍，则老师声音的等级约为（ A．36dB B．63 dB C．72 dB ） D．81 dB 15．（2021·全国高一专题练习）“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学 治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为 v 立方米，每天的进出水量为 k 立方米．已知污染源以每天 r 个单位污染河 水，某一时段 t （单位：天）河水污染质量指数为 m t  m t （每立方米河水所含的污染物）满足 r � r � kv t � m0  � e k � k � （ m0 为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的 80 倍．若从现在开始关闭 污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的 10%，需要的时间大约是（参考数据： ln10 �2.30 ）（ A．1 个月 B．3 个月 C．半年 D．1 年 【双基达标】 一、单选题 x 16．（2021·贵州师大附中高一开学考试）在下列区间中，方程 e  4 x  3  0 的解所在区间为（ ） ） 1 ( ,0) A． 4 1 (0, ) B． 4 17．（2020·深圳实验学校高中部高一月考）已知 g ( x)  0 A． C． x1 , x2 x1 与 的两个不同实根．若 介于 x2 x3 和 相邻， x4 x3 g  x1  g  x2   0 之间 3与 x4 1 3 ( , ) D． 4 4 1 1 ( , ) C． 4 2 x1 , x2 ，