2.5.2 圆与圆的位置关系 一、单选题 2 2 O : x  3   y  4   16 O O 1．已知圆 O1 : x  y  1 与圆 2  ，则圆 1 与圆 2 的位置关系为（ 2 2 ） A．外切 B．内切 2．已知圆 M : ( x  a) 2  y 2  4(a  0) M 截得的线段的长度为（ A．1 3．若圆 C1 : x 2  y 2  1 与圆 与圆 3 N : x 2  ( y  1) 2  1 外切，则直线 C．2 C2 : x 2  y 2  6 x  8 y  m  0 B．19 M : ( x  1) 2  y 2  4 D．外离 内一点 D． 外切，则 m  （ C．9 C． A  2,1 y 5  0 D． O : x2  y2  5 与圆 A．2 B．3 ） ） x y5 0 x  y 5  0 O1 : ( x  m) 2  y 2  20(m �R ) 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长为（ 2 3 作一弦交圆于 B 、 C 两点，过点 B 、 C 分别作圆 B． x y5  0 5．若圆 被圆 D．-11 的切线 PB 、 PC ，两切线交于点 P ，则点 P 的轨迹方程为（ A． x y 2  0 ） B． A．21 4．过圆 C．相交 相交于 A，B 两点，且两圆在点 A ） C．4 D．5 二、多选题 3 7 2 2 2 2 2 x  y  2 ax  2 ay  2 a  9  0 x  y  2 x  2 y  2  0 6．圆 与圆 的公共弦长为 2 ，则实 数 a 的值可能为（ ） 17 B． 8 A． �2 7．已知两圆 A． x2  y 2  1 � 2 13 和 C． � ( x  4) 2  ( y  a) 2  25 B． �2 5 B．圆 C．曲线 恒过定点 上有且仅有 3 个点到直线 C1 : x 2  y 2  2 x  0 a （ 与曲线 � 34 4 ） D．以上均有可能 ） (3  m) x  4 y  3  3m  0( m �R) x2  y 2  4 相切，则实数 C．0 8．以下四个命题表述正确的是（ A．直线 D． (3, 3) l:x y 2 0 的距离都等于 1 C2 : x 2  y 2  4 x  8 y  m  0 x 恰有三条公切线，则 m4 y D．已知圆 C : x 2  y 2  1 ，点 P 为直线 4  2  1 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 PA ， PB ， A ， 为切点，则直线 B AB 1 1 经过定点 ( 4 , 2 ) 三、填空题 2 2 C : x  3   y  4   16 9．两圆 C1 : x  y  1 和 2  的公切线有______条． 2 10．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 2 C 的方程为 x 2  y 2  8 x  15  0 ，若直线 y  kx  2 上至少 存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的取值范围是_______. 11．两圆相交于 (1,3) 和 (m, 1) 两点，两圆圆心都在直线 x yc  0 上，则 ___． 四、解答题 12．已知圆 （1）当 C1 : x 2  y 2  2mx  4 y  m 2  5  0 m 1 时，判断圆 C1 和圆 （2）是否存在实数 m，使得圆 C2 C1 和圆 的位置关系； 和圆 C2 内含？ C2 : x 2  y 2  2 x  0 ． mc 的值为___ 13．求过圆 x2  y2  6 x  4  0 和圆 x 2  y 2  6 y  28  0 的交点，且圆心在直线 3x  5 y  0 上 的圆的方程. 14．已知圆 C1 : x 2  y 2  2kx  k 2  1  0 和圆 C2 : x 2  y 2  2( k  1) y  k 2  2k  0 圆心之间的距离最短时，两圆的位置关系如何？ 15．已知两圆 C1 : x 2  y 2  4 x  4 y  5  0 ， C2 : x 2  y 2  8 x  4 y  7  0 （1）求证：此两圆相切，并求切点坐标； （2）求过点 (2,3) 且与两圆相切于上述切点的圆的方程． 参考答案 1．A 【分析】 根据圆和圆的位置关系，求得圆心距和半径之间的关系，即可得解. 【详解】 圆 圆 O1 O2 的圆心为 的圆心为  0, 0  ，半径等于 1，  3, 4  所以两圆圆心距为 ，半径等于 4，  0  3 2   0  4  5 ， 2 恰好等于它们的半径之和，所以两个圆外切. ． ，则当它们 故选：A. 2．D 【分析】 根据两圆外切得出圆心距等于半径之和可求出 a ，再根据几何法可求出弦长. 【详解】 圆 M : ( x  a ) 2  y 2  4(a  0) 的圆心为 M  a, 0  ，半径为 2,，圆 N : x 2  ( y  1) 2  1  0,1 ，半径为 1， 2 由题意，知 a  1  2  1 ， a  0 ，解得 a  2 2 ，   d 圆心 M 2 2,0 到直线 x  y  2  0 的距离 |2 2 0 2 | 1 ， 2  直线 x  y  2  0 被圆 M 截得的线段的长度为  2 4 1  2 3 . 故选：D. 3．C 【分析】 把圆 C2 的方程化成标准形式，再利用两圆外切的位置关系列出方程求解即得. 【详解】 2 2  x  3   y  4   25  m ， 把方程 x  y  6 x  8 y  m  0 化为 2 依题意有 25  m  0 ，即 m  25 且圆 而圆 则有 C1 的圆心  3  0 所以 m  9 . 故选：C 2 C1 (0, 0) ，半径 r1  1 C2 2 的圆心 ，又圆 C1 C2  3, 4  与圆 C2 r2  25  m 外切，于是得   4  0   1  25  m ，解得 m  9 ， 2 ，半径 ， | C1C2 | r1  r2 ， 的圆心为 4．C 【分析】 设 P 点坐标为 将点 A  2,1  x0 , y0  ，写出以 MP 为直径的圆的方程，作差求得公共弦所在直线的方程， 代入方程，由此得出结论． 【详解】 解：设 P 点坐标为  x0 , y0  ， 根据圆的直径式方程知，以 MP 为直径的圆的方程为 两圆方程作差可得公共弦 BC 的方程为 而 A  2,1 ( x  1)  x  x0   y  y  y0   0  x0  1 x  yy0  x0  3  0 ，  x  y0  5  0 在直线 BC 上， 0 ， P x  y 5  0 故点 的轨迹方程为 ， 故选：C． 5．C 【分析】 连接 OO1 ，记 AB 与 OO1 的交点为 C，求出 OO1  5 【详解】 如图所示，连接 在 Rt△ OO1 A OO1 中， ，记 | OA | 5 AB ， | AC | 所以 OO1  5 ，所以 所以 | AB | 4 故选：C ． 与 OO1 的交点为 C， O1 A  2 5 ， 5 �2 5 2 ， 5 ，再求出 | AC | 2 即得解. ， 6．CD 【分析】 先求得公共弦所在直线的方程为 心  1, 1 到直线的距离 d   2a  2  x   2a  2  y  7  2a 2  0 ，结合弦长公式，求得圆 1 ，结合点到直线的距离公式，列出方程即可求解. 4 【详解】 由圆 x2  y2  2 x  2 y  2  0 和圆 x 2  y 2  2ax  2ay  2a 2  9  0 两式相减，可得公共弦所在直线的方程为 ，  2a  2  x   2 a  2  y  7  2a 2  0 ， 3 7 2 2 因为两圆的公共弦长为 2 ，且圆 x  y  2 x  2 y  2  0 的圆心为  1, 1 ，半径为 2， 设圆心 可得  1, 1 到直线的距离为  2a  2  x   2a  2  y  7  2a 2  0 的距离 d ， d  r2  ( 3 7 2 1 )  4 4， 又由圆心  1, 1 到直线的距离为 2a  2  2a  2  7  2a 2 即 8a  8 2  d 2a  2  2a  2  7  2 a 2 8a 2  8 ， 1 34 � 4 ，解得 a  �1 或 4 . 故选：CD. 7．BC 【分析】 由圆的标准方程得两圆的圆心与半径，分两圆外切与内切两种情况讨论，利用圆心距与半 径的关系列式求出 a 的值，综合即可得答案． 【详解】 圆 圆 x2  y 2  1 的圆心为 (0, 0) ( x  4) 2  ( y  a) 2  25 ，半径为 1， 的圆心为 ( 4, a ) ，半径为 5， 若两圆相切，分两种情况讨论： 当两圆外切时，有 当两圆内切时，有 (4) 2  a 2  (1  5) 2 (4) 2  a 2  (1  5) 2 a 综合可得：实数 的值为 0 或 ，解得 ，解得 �2 5 a  �2 5 a0 ； ， ． 故选：BC． 8．BCD 【分析】 由过定点的直线系