人教 2019A 版必修 第一册 第五章 三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 学习目标 提出问题 类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的 哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？ 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数 的单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是 刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别 而重要的． 性质探究 1. 周期性   观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔 2π 个单位长度 ，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规 律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式（ k∈Z ）中得到 反映，即自变量的值增加 2π 整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值 相等．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律 ． 一般地，对于函数 , 如果存在一个非零常数 T ，使得当取定义域内的每 一个值时，都有那么函数就叫做周期函数（ periodicfunction ）．非零常 数 T 叫做这个函数的周期（ period ）． 概念解析 周期函数的周期不止一个．例如，２ π ，４ π ，６ π ，…以及－２   π ，－４ π ，－６ π ，…都是正弦函数的周期．事实上，且 ≠０，常数都 是它的周期． 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数 就叫做的最小正周期（ minimalpositiveperiod ）．   根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数， （ k∈Z 且 k≠ ０）都是它 的周期，最小正周期是２ π ．类似地，余弦函数也是周期函数， （ k∈Z 且 k≠ ０）都是它的周期，最小正周期是２ π ． 典例解析   （3） x∈R;  分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式而求出相应的周期 ．对于（２），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出， x∈R ；对于（３） ，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出 =, x∈R ；  令 , 由得 Z 且的周期为即周期为 2π. 即， , 于是， 所以 由周期函数的定义知，原函数的周期为 4π. 回顾例２的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ 归纳总结 2. 奇偶性   观察正弦曲线和余弦曲线 ， 可以看到正弦曲线关于原点 犗 对称 ， 余弦曲线 关于 x 轴对称 ． 这个事实 ， 也可由诱导公式 = ； = 得到 ． 所以正弦函数是奇 函数 ， 余弦函数是偶函数 ． 知道一个函数具有周期性和奇偶性 ， 对研究它的图象与性质有什么帮助 ? 做一做 归纳总结 3. 单调性   由于正弦函数是周期函数 ， 我们可以先在它的一个周期的区间 （ 如 ） 上 讨论它的单调性 ， 再利用它的周期性 ， 将单调性扩展到整个定义域 ．  观察图 5.4-8 ， 可以看到 ： 当 由 增大到 时 ， 曲线逐渐上升 ， 的 值由 -1 增大到 1 ； 当 由 增大到时 ， 曲线逐渐下降 ， 的值 由 1 减小到 -1 ．       的值的变化情况如表 5.4.2 所示 ： 就是说，在区间上单调递增， 上单调递减，有正弦函数的周期性可得； 正弦函数在每一个闭区间 （ k∈Z ） 上都单调递增 , 其值从 -1 增大到 1 ; 在每一个闭区间 （ k∈Z ） 上都单调递减 , 其值从 1 减小到 -1 ． 类似地 ， 观察余弦函数在一个周期区间 （ 如 ） 上函数值的变化规律 ， 将看   到的函数值的变化情况填入表 5.4.3   由此可得， , 在区间 上单调递增 ， 其值从 -1 增大到 1 ；上单调递增， 　　　　　 　 　　　　　　　 余弦函数在每一个闭区间 在每一个闭区间 　 , 上都单调递增 ， 其值从 -1 增大到 1 ； , 上都单调递减 ， 其值从 1 减小到 -1 ． 三、 正弦、余弦函数的单调性 函数名 y=sinx 递增区间 递减区间   [   2 k ,  2 k ] 2 2  3 [  2 k ,  2 k ] 2 2 [(2 k  1)  , 2 k  ] [2 k  , (2 k  1) ]( k  z ) y=cosx ４ . 最大值与最小值   从上述对正弦函数 、 余弦函数的单调性的讨论中容易得到 ， 正弦函数当且仅当 ＝　　　　　　 时 , 取得最大值 １ ， 当且仅当 ＝　　 时 , 取得最小值 －１ ； 余弦函数当且仅当 ＝　　　　　　 时 , 取得最大值 １ ， 当且仅当 ＝　　　　　　 时 , 取得最小值 －１．  例 3. 下列函数有最大值 、 最小值吗？ 如果有 ， 请写出取最大值 、 最 小值时自变量的集合 ， 并求出最大值 、 最小值 ． （１）， ∈R ； （２） ， ∈R．  解 ： 容易知道 ， 这两个函数都有最大值 、 最小值 ． （ １ ） 使函数 ， ∈ R 取得最大值的 狓 的集合 ， 就是使函数 ， ∈ R ， 取得最大值的 的集合｛ ｜ ＝ 2kπ ， k ∈Z ｝； 使函数， ∈ R ， 取得最小值的 狓 的集合 ， 就是使函数 ， ∈ R 取得最小值的 的集合 ｛ ｜ ＝ （ 2k +1 ） π ， k ∈Z ｝ ． 函数， ∈ R 的最大值是 １＋１＝２ ； 最小值是 －１＋１＝０．