专题 11 三角形中最值问题 [真题再现] 例1 （2020·如皋中学创新班六月模拟·13）三角形 ABC 面积为 S，若 10c 2  5a 2  4b 2 ， 20S 则 15a 2  6b 2 的最大值是_____. 1 【答案】 6 【分析】据果变形，将已知 10c 2  5a 2  4b 2 15a 2  6b 2  10a 2  10b 2  10c 2 变形为 10c 2  15a 2  10a 2  10b 2  6b 2 ，故 ，由余弦定理、面积公式转化为求∠C 范围的问题，直接 利用基本不等式求解. 【解析】将已知 故 10c 2  5a 2  4b 2 变形为 15a 2  6b 2  10a 2  10b 2  10c 2 由余弦定理得 10c 2  15a 2  10a 2  10b 2  6b 2 ， ， 10a 2  10b 2  10c 2  10  a 2  b 2  c 2   20ab cos C 20 S 10ab sin C 1   tan C 2 2 . 所以 15a  6b 20ab cos C 2 另一方面，由余弦定理得： a 2  b2  c2 cos C   2ab （当且仅当 5a 2  2b 2 a2  b2  3 3 1 3 2 3 2 2 a 2 � b2 4b 2  5a 2 a  b 3 5 10 5 � 2 2  2ab 2ab 2ab 10  时，“=”成立）  1 20S 1 1 tan C �  tan C � 2 2 所以 3 ，故 15a  6b 2 6. 20S 1 2 2 所以 15a  6b 的最大值是 6 . 点评： 本题采用“边化角”的策略，然后使用基本不等式求解，思路清晰明了. 例2 （2019·无锡·期末）在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则 1 1 1   tan A tan B tan C 的最小值为　　　　． 13 【答案】 2 【解析一】（作高线，化斜为直，角化边）由正弦定理，得： 2a 2  b2  2c 2 ， 如图，作 BD⊥AC 于 D，设 AD＝x，CD＝y，BD＝h， 2 2 2 2( y  h )  ( x  y )  2( x  h ) 因为 2a  b  2c ，所以， ，化简，得： 2 x 2  2 xy  3 y 2  0 2 2 2 2 ，解得：x＝3y tan A  tan C 1  tan A tan C 1   tan B  tan( A  C )   tan B ， 1  tan A tan C ， tan A  tan C tan B ， h2 1 x y xy   1 1 1 ＝ 1 1 tan A tan C  1 ＝ h h h  h     x y tan A tan B tan C tan A tan C tan A  tan C 4 y h 2  3 y 2 13 y h 13   � ＝ h ＝ 4 yh 4h 4 y 2 .   2 2 2 2 b 2 +c 2  a 2  3b 2 【解析二】（边化角）由正弦定理，得： 2a  b  2c ，即 ，由余弦 定理得： 4bc cos A  3b 2 4sin C cos A  3sin( A  C ) ，即 4c cos A  3b ，化简得 ，由正弦定理，得： tan C  3tan A 4sin C cos A  3sin B ，即 ， 3 13 3 13 13 1 1 1 tan A  �2 tan Ag =  + 4 12 tan A 4 12 tan A 2 tan A 主元，化简 得 tan A tan B tan C . 以 例3 则 在 Δ ABC Δ ABC 中，角 A ,B,C 所对的边分别为 的面积的最大值为 a,b,c 2 ，若 2 2 a +b + 2c =8 ， ． 2 5 【答案】 5 2 2 2 【解法一】（边的方向）看到式子 a  b  2c 8 的结构特征，联想余弦定理得： cos C  所以 当 a 2  b 2  c 2 3a 2  3b 2  8 3 2  �  2ab 4ab 2 ab 1 1 3 � 3 2 2� 5 S 2  (ab) 2 sin 2 C � ( ab) 2 � 1  (  ) �  ( ab) 2  ab  1 4 4 2 � 2 ab � 16 ab  12 4 � S2�  � � max 5 时， 5 2 5 ABC 的面积的最大值为 5 ． ， 【解法二】（利用中线长定理化边） 联想三角形中线长定理，设 BC 边上的中线为 AM，则 2( a  b )  c  4 AM 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a  b  8  2c ∵ a +b + 2c =8 2 2 代人得： 2(8  2c )  c  4 AM ，即 5c  4 AM  16 2 2 2 根据基本不等式得： 5c  4 AM  16 �2 5c �4 AM 2 2 2 2  4 5 AM � c 又因为三角形一边上的中线不小于该边上的高 所以 4 5 AM c 8 ‫ ׳‬5S 2 5 S� 5 ，当且仅当中线等于高，即中线垂直于底边时，等号成立，此 所以 16 �8 5S ， 2 5 时 ABC 的面积的最大值为 5 ． 【解法三】（利用隐圆） 以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系． 设 A，B，C(x，y)，则由 a2＋b2＋2c2＝8， 得 2＋y2＋2＋y2＋2c2＝8，即 x2＋y2＝4－c2， 所以点 C 在以原点(0,0)为圆心，为半径的圆上， 所以 S≤＝≤. 例4 在△ ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ，若△ ABC 为锐角三角形，且满足 1 1  b  a  ac ，求 tan A tan B 的取值范围. 2 2 【答案】 (1, 2 3 ) 3 2 2 2 2 2 2 【解析】 由余弦定理可得 b  a  c  2ac cos B ，可得 a  ac  a  c  2ac cos B ， 2 所以 c  ac(1  2cos B) ，即 c  a(1  2cos B) ， 由正弦定理可得 sin C  sin A(1  2cos B) ，即 sin A cos B  cos A sin B  sin A(1  2cos B) ， 可得 cos A sin B  sin A(1  cos B ) ，可得 sin B  tan A(1  cos B ) ， 1 1 1  cos B cos B 1     sin B sin B sin B . 所以 tan A tan B 2 2 2 2 2 因为△ ABC 为锐角三角形，所以 a  b  c ，则 2a  ac  c ，即 所以 0 2 c c  ( )2 a a ， c 2 a ， 又由 c  a(1  2cos B) 可得 1 c 1 cos B  (  1) �(0, ) 2 a 2 ， 1 2 3 �(1, ) 3 ， 在△ ABC 可得 sin B 1 1 2 3  (1, ) 3 . 所以 tan A tan B 的取值范围为 [强化训练] 1.若 ABC 的内角满足 sin A  sin B  2sin C ，则角 C 的最大值是 .  【答案】 3 c  【解析】由 sin A  sin B  2sin C 可得： a  b  2c ， ab 2 2 �a  b � 3 2 3 2 1 3 3 1 a b � 2 a 2 � b 2  ab a  b  ab 2 2 2 � a b c � 2 � 4 4 2 =1 4 2 � 4  cos C   2ab 2ab 2ab 2ab 2 2 2  0C � ∵ cos C 在  0，  递减，∴ 3 2.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若，，成等差数列，则 cos C 的最小值为________. 【答案】 【解析】　∵，，成等差数列，∴＋＝，即＋＝， 可得＝＝， ∴cos C＝，则＝， 化简得 2(a2＋b2)＝3c2，故 cos C＝＝≥＝(当且仅当 a＝b 时等号成立). 3. 在 △ ABC 中 ， 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c ， 若 △ ABC 为 锐 角 三 角 形 ， 且 满 足 1 1   2sin C c 2  b 2  ab ，则 tan B tan C 的取值范围为________. 5 3 ,3) 【答案】 3 ( 【解析】由 c 2  b 2  ab 得： sin(C  B )sin(C  B)  sin A sin B ， C  2B 1 1 sin(C  B ) 1 5 3   2sin C   2sin C   2sin C �( ,3) tan B tan C sin B sin C sin C 3 . b c  a , b , c 4. 设 ABC 的 BC 边上的高 AD=BC, 分别表示角 A,B,C 对应的三边,则 c b 的取 值范围是 【答案】 . [2, 5 ] 1 1 S ABC  a 2  bc sin A, 【解析】: 因为 BC 边上的高 AD=BC= a ,所以 所以 2 2 a2 sin A  . bc 又因为 cos A  b c b2  c2  a 2 1 b c a 2  2 cos A  sin A  5  (   ), ,同 所以 c b 2bc 2 c b bc b c b c  2,   [2, 5 ]. 时c b 所以 c b 5. (2019·南京、盐城高三模拟)在△ABC 中，