专题 指、对、幂运算 一、选择题 1.2 �1 � c  � � ，则（ 1.（2021 年浙江省丽水市高一上期末卷）已知 0.2 ， 0.4 ， �2 � a2 b2 A. abc B. bca C. acb D. cab 2.（2021 年浙江省镇海中学高一上期末卷）下列式子的互化正确的是（ 1 A. 6 y 2  y 3  y  0  C. x  5 4 ） B. x  1 3 ）   3 x  x �0  5 �1 �  4 � � x  0  �x � D. 1  x    x 2  x  0 3.（2021 年浙江省湖州市高一上期末卷）某食品的保鲜时间 y (单位：小时)与储藏温度 x ye (单位： C )满足函数关系 o kx  b ( e  2.718L 为自然对数的底数， k ，b 为常数).若该 o 食品在 0℃时的保鲜时间是 192 小时，在 33℃时的保鲜时间是 24 小时，则该食品在 22 时的保鲜时间是（ ） A. 40 小时 B. 44 小时 C. 48 小时 D. 52 小时 2 2 5 5 �1 � 2� 4.（2021 年浙江省宁波市九校联考高一上期末卷）已知 a  � �， b  � � �， �5 � �3 � 1 3 ，则（ ） 5 c  log 2 C A. C. abc B. bca D. bac cab 2021 �1 � 1 5.（2021 年浙江省衢州市五校联盟高一上期末卷）已知 a  �2020 � ， ， � � b  20212020 c  log A. 1 2020 2021 abc B. ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ acb C. cab D. ） cba 6.（2021 年浙江省衢州市五校联盟高一上期末卷）某特种冰箱的食物保鲜时间 y （单位： 小时）与设置储存温度 x （单位：℃）近似满足函数关系 y  3kx b （ k ， b 为常数），若 设置储存温度 0 ℃的保鲜时间是 288 小时，设置储存温度 15 ℃的保鲜时间是 36 小时，则 设置储存温度 10 ℃的保鲜时间近似是（ A. 72 小时 B. 96 小时 C. 120 小时 D. ） 144 小时 二、填空题 7.（2021 年义乌市高一上期末卷）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上 2000m，游回产地产卵． 研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 v （单位：m／s）可以表示为 v 1 O log 3 2 100 ，其中 O 表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鱼的耗氧量是 8100 个单位时，它的游速是______m／ s． 8.（2021 年丽水市高一上期末卷）已知幂函数 y  mx n  m, n �R  的图象经过点  2,8  ， 则 m  n  _______. 1 1   9.（2021 年丽水市高一上期末卷）若 3  6 ， b  log 2 6 ，则 a b ________. a 1 128 1 lg  2 lg 2 2  lg125  ____． 10.（2021 年浙江省镇海中学高一上期末卷）计算 2 25 2 11.（2021 年浙江省杭州市七县区高一上期末卷）计算： lg 2  lg 5  log 2 3 � log 3 4  e ln 2  ________. �1 � 1 f � � 12.（2021 年浙江省金华十校高一上期末卷）已知 f ( x) 为幂函数，若 �4 � 2 ，则 f ( x)  ________． 13.（2021 年浙江省宁波市九校联考高一上期末卷）计算 21log2 3  14.（2021 年浙江省衢州市五校联盟高一上期末卷）已知 mn  ，2 m 1 n  ___________. m  log 2 3 ， n  log 3 4 ，则 . log 5 10  ab  15.（2021 年浙江省温州市高一上期末卷）已知 5  3 ， 3  2 则 _______ a ____ b . 三、解答题 16.（2021 年浙江省杭州市学军中学高一上期末卷）求下列各式的值：  1 �27 �3 （1） � �  log 2  log 2 16   lg 2  lg 50 ； �8 � 、 17.（2021 年浙江省金华十校高一上期末卷）计算下列各式： （Ⅰ） (0.125) （Ⅱ）  2 3  ( 2 �3 3) 6  (2 2  3) 2 2log2 3  log 3 7 � log7 9  log18 6  log18 3 18.（2021 年浙江省宁波市高一上期末卷） （1）求值：若 x log 3 2  1 ，求 2 x  2 x 的 值； 参考答案 一、选择题 1.【答案】D 【解析】 【分析】 1.2 �1 � 1.2 由 c  �2 �  2 ，再根据指数函数 y  2 x 的单调性比大小. �� 1.2 �1 � 1.2 【详解】 c  �2 �  2 ， �� 又函数 故 y  2x 单调递增， 21.2  20.2  20.4 ，即 cab ， 故选：D. 【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候， 因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊 方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再 根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象 法求解，既快捷，又准确． 当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比 较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小． 当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值 与 1 的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．作 差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还 是负，从而 确定所比值的大小．分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分 类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与 1 的大小关系作为分类标准． 2.【答案】C 【解析】 【分析】 根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析. 【详解】根据分数指数幂的运算可知， 6 1 3 1 3 y 2 | y |   y ( y  0) ，x  1 3 5 5  1 �1 � x  3  x �0  ， 4  4 � � x  0  ， �x � x 1  x    x  2  x  0 ， 故选：C 3.【答案】C 【解析】 【详解】 将 x＝0，y＝192 和 x＝33，y＝24 代入函数关系 y＝ekx+b （e＝2.718…为自然对数的底数， k，b 为常数），得到 192＝eb，24＝e33k+b，两式相除可得 e33k＝ ，故 e11k＝ ， 将 x＝22 代入函数关系式可得 y＝e22k+b＝ 故该食品在 22℃时的保鲜时间是 48 小时． 故选：C． ， 4.【答案】A 5.【答案】C 6.【答案】A 二、填空题 7.【答案】2 【解析】 【分析】 令 O  8100 ，代入函数解析式即可求解. 1 8100 1 1 1 v  log 3  log 3 81  log 3 34  �4  2 【详解】当 O  8100 时， ， 2 100 2 2 2 故答案为：2. 8.【答案】 2 【解析】 【分析】 根据幂函数的定义确定 m 的值，再由函数图象经过点 【详解】由函数 故 y  xn y  mx n  m, n �R  ， 由函数图象经过点  2,8  ，  2,8 ，代入可得 n ，进而可得所求. 为幂函数，可知 m  1 ， 所以 故 2n  8 ，即 n3 m  n  1  3  2 ， ， 故答案为： 2 . 9.【答案】1 【解析】 【分析】 a a  log 3 6 先由 3  6 得到 ，再由换底公式，计算所求式子，即可得出结果. a a  log 3 6 【详解】由 3  6 可得 ， 又 b  log 2 6 ， 1 1 1 1     log 6 3  log 6 2  log 6 6  1 . 所以 a b log 3 6 log 2 6 故答案为： 1 . 1 10.【答案】 2 【解析】 【分析】 根据对数的运算法则和性质结合对数恒等式 lg 2  lg 5  1 求解出原式的结果. 3 1 128 1 1 27 1  lg  2 lg 2 2  lg125  lg 2  2 lg 2 2  lg 53 详解】原式 【 2 25 2 2 5 2  1 3 1 1 � 7 lg 2  2 lg 5   3lg 2  lg 5   lg 2  lg 5   2 2 2 2， 1 故答案为： 2 . 11.【答案】1 1 12.【答案】 x 2 13.【答案】6 14.【答案】 2 ； 3 3 15.【答案】1 解：∵5a＝3，3b＝2， ∴a＝log53，b＝log32， log510﹣ab＝log510﹣log53log32 ＝log510﹣log52 ＝log55 ＝1． 故答案为：1． 三、解答题 14 16.【答案】（1） 3 17.【答案】（Ⅰ） 73  2 2 ；（Ⅱ） 2 . 18.【答案】解：（I）由题意， 得 ． ，得 2x＝3，