应城一中高三上学期数学周测卷三 一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分） 1. 已知集合 A. 0 或 2 2. 定义运算 “ 若 B. 0 或 A. 第一象限 3. ， ，则常数 a 的值为 C. 2 D. ，则符合条件 B. 第二象限 的复数 对应的点在 C. 第三象限 与圆 ”是“直线 D. 第四象限 相切”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数 ， 是函数 的导函数，则函数 的图象 大致是 A. B. C. D. 5. 已知等比数列 的首项为 1，公比为 q，前 n 项和为 ，且 等差数列，则 等于 A. 1 或 B. 1 或 C. D. ， ， 成 6. 高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙两人相邻， 则甲、丙两人相邻的概率是 A. 7. B. 已知 ，则 A. 8. C. B. 已知函数 是函数 D. 的值为 C. 的导函数，对任意 D. ， ，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 9. 已知函数 ，现给出下列四 个命题，其中正确的是 A. 函数 的最小正周期为 B. 函数 的最大值为 1 C. 函数 在 上单调递增 D. 将函数 的图象向左平移 10. 如图，在长方体 个单位长度，得到的函数解析式为 中， ， M，N 分别为棱 的 中点，则下列说法正确的是 A. A、M、N、B 四点共面 B. 平面 C. 直线 BN 与 11. 已知 所成角的为 D. 平面 ADM 分别是双曲线 的左、右焦点，A 为左顶点， P 为双曲线右支上一点，若 A. 双曲线的离心率 C. 且 的最小内角为 B. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线 12. 已知函数 A. 平面 与双曲线有两个公共点 下列说法正确的是 有且仅有一个极值点； B. 有零点； C. 若 极小值点为 ，则 ； D. 若 极小值点为 ，则 ． ，则 三、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知向量 ， 14. 已知数列 ，且 ，则 的前 n 项和为 ，若对任意的 _______． ，不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是________． 15. 三棱锥 中， ， ，则三棱锥 外接球的体积为______ ． 16. 已知双曲线 的左焦点为 F，过点 F 作双曲线 C 的一 条渐近线的垂线 l，垂足为 H，垂线 l 与双曲线的另一条渐近线相交于点 P，O 为坐标原点 若 为等腰三角形，则双曲线的离心率为__________． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 在 ， ， 这三个条件中任选 一个，补充在下面问题中，并做答． 问题：已知 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ，________，角 B 的平分线交 AC 于点 D，求 BD 的长． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ， 18. 设等差数列 的前 n 项和为 ，等比数列 N ， 求数列 ， 、 ，已知 ， 的通项公式； 求和： 19. 如图，在四棱锥 的前 n 项和为 ． 中，平面 ，M 为 PA 的中点． 平面 PCD， ， ， Ⅰ 求证：平面 Ⅱ 求二面角 平面 MCD； 的余弦值． 20. 甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的 10 道题中，甲答对其中每道题的概率 都是 ，乙能答对其中的 8 道题．规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 4 道题进行测试，只有选中的 4 个题目均答对才能入选； Ⅰ 求甲恰有 2 个题目答对的概率； Ⅱ 求乙答对的题目数 X 的分布列； Ⅲ 试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由． 21. 已知椭圆 C： 的点 到 的左、右焦点分别为 ， 两点的距离之和为 4． ， ，且椭圆 C 上 求椭圆 C 的方程； 若直线 的斜率之积等于 与椭圆 C 交于 M、N 两点，O 为坐标原点直线 OM、ON ，试探求 22. 已知函数 若 在 的面积是否为定值，并说明理由． ． 有两个不同的极值点 ， ，求实数 a 的取值范围； 的条件下，求证： ． 答案和解析 1.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了集合的交集运算和集合之间的关系，属于基础题． 由 可得 ，再分 T 为 和 T 不为 运算可得答案． 【解答】 解：因为集合 因为 ，故可得 当T为 ，故可得得 ， ， 时 当 T 不为 时， 解得 ， 故选 A． 2.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查复数的有关概念与复数的几何意义，以及正确理解新定义，属于中档题． 首先根据题意设出复数 z，再结合题中的新定义得到一个等式，然后求出复数 z 的共轭 复数进而得到答案． 【解答】 解：设复数 由题意可得 ， ，即 ， 代入整理可得： 解得： ， 所以 ， ， ， 所以复数 z 的共轭复数 对应的点在第二象限． 故选 B． 3.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查充要条件的判断，涉及直线和圆的位置关系，属基础题．由直线和圆相切则 圆心到直线的距离等于半径可得 k 的值，进而由充要条件的定义可作出判断． 【解答】 解：由点到直线的距离公式可得： 圆心 故“ 到直线 的距离 ”是“直线 与圆 ，解得 ． 相切”的充要条件． 故选：C． 4.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查函数图象及导数的计算，同时考查函数的奇偶性，属于中档题． 先由题意求出函数的导函数，再利用奇偶性和性质来判断即可． 【解答】 解： ， 所以 ， 则导函数为奇函数， 故排除 B，D， 又 ， 所以 在 ， 上有零点， 则排除 C， 故选 A． 5.【答案】D 【解析】 【试题解析】 【分析】 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列中项的性质，以及分 类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题． 讨论 ，检验不成立； ，运用等比数列的求和公式，解方程可得 q，再由等比 数列的通项公式，计算可得所求值． 【解答】 解：若 ， ， 可得 ，则 ， 成等差数列， ， 即 ， 解得 若 不成立； ，有 ， 化为 ， 即为 解得 ， 或 舍去 ， 则 ． 故选 D． 6.【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，涉及排列、组合的运用，注意本题中甲、 丙相邻，必须是在甲乙相邻的条件下．根据题意，首先计算甲乙相邻时，五位同学站 成一排的情况数目，用捆绑法，将甲与乙看成一个整体，计算可得其情况数目；再计 算在此条件下，甲、丙相邻的情况数目，分析可得若甲、丙相邻，必须是甲、乙、丙 三人相邻，且甲在中间，由捆绑法计算可得其情况数目；由等可能事件的概率公式， 计算可得答案． 【解答】解：设“甲、乙两人相邻”为事件 A，“甲、丙两人相邻”为事件 B， 则 AB 表示事件“甲与乙、丙都相邻”． 又 ， ， 于是 ． 故选 C． 7.【答案】B 【解析】解： ， ， ，即 ， ． 故选：B． 先根据正弦的两角和公式对等式进行化简，再利用辅助角公式，即可得解． 本题考查两角和差公式，熟练掌握正弦的两角和公式与辅助角公式是解题的关键，考 查学生的运算求解能力，属于基础题． 8.【答案】C 【解析】解：令 由题意得， 函数 在 ，则 ， 上单调递增； ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， 故选：C． 令 ，利用导数可得函数 在 上单调递增，由 ，可得 ，从而可得答案． 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养， 是中档题． 9.【答案】BD 【解析】 【分析】 本题考查两角和与差的三角函数及正弦型函数的最小正周期、最值、单调性、图象的 平移等知识， 属于基础题． 化简 ，然后结合其周期、最值、单调性、平移，逐一判断求解即可． 【解答】 解：依题意， ， 所以 的最小正周期为 ， A 错误； 最大值为 1 ，B 正确； 当 时， ，而正弦函数 在 上有增 有减，故 C 错误； 将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式为 ，故 D 正确． 故选 BD． 10.【答案】BC 【解析】 【分析】 本题考查命题的真假判断与应用，属基础题． 由空间中直线与平面、平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案． 【解答】 解：对于 A 选项，A、B、M 在平面 对于 B 选项，在长方体 平面 平面 内，N 在平面 中， ，故 B 正确； 平面 外，故 A 错误； ， 平面 ADM， 对于 C 选项，如图， 取 CD 中点 E，连接 BE，NE，可得 ， 意可得 为等边三角形，则 ，故 C 正确； 对于 若 平面 ADM，又 平面 为直线 BN 与 平面 ADM，则平面 所成角，由题 平面 ADM，而平面 ，矛盾，故 D 错误． 说法正确的是 BC． 故选 BC． 11.【答案】ABD 【解析】 【分析】 本题考查双曲线的几何性质以及直线与双曲线的位置关系，属于基础题． 由双曲线的定义，结合余弦定理得到 a， c 的关系，判断 A； 由离心率得到 a，b 的关系求得渐近线方程，判断 B； 求出 ，即可判断 C； 由直线方程与双曲线方程联立，结合判别式判断 D． 【解答】 解： 因为 所以 ， ， ， 又因为 所以 ， ， ， 所以 所以 B. 所以 ， ，所以 ，故结论正确； ，所以 ， ，所以渐近线方程为 ，故结论正确； ，所以 C.因为 所以 ， ， 又因为 所以 ， ，所以 D.因为 所以 所以 所以直线 ，所以结论不成立； ，所以 ， ， ， 与双曲线有两个公共点，所以结论正确． 故选 ABD． 12.【答案】AC 【解析】 【分析】 本题重点考查利用导数研究函数的极值和零点问题，属于较难题． 利用导数求出单调性，得 有唯一极小值，从而