专题 01 倾斜角和斜率 要点一　直线的倾斜角 1．倾斜角的定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴_正方向_与直线 l__向上__方向之间所成 的角叫做直线 l 的倾斜角．如图所示，直线 l 的倾斜角是∠APx，直线 l′的倾斜角是∠BPx. 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角 α 的取值范围是_  0�,180� _，并规定与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角 为_ 0�_． 【知识技巧】 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其 倾斜角是相同的. 要点二　直线的斜率 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角 α(α≠90°)的_正切__值叫做这条直线的斜率．常用小写字母 k 表示，即 k＝__ tan  ___. y2  y1 x  x1 __，当 x ＝x 时， 2．斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝__ 2 1 2 直线 P1P2 没有斜率． 3．斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的_直线的倾斜程度_． 【方法技巧】 斜率与倾斜角的对应关系． 图示 倾斜角 (范围) 斜率 (范围) α＝0 ° 0 °＜α＜90 ° α＝90 ° 90 °＜α＜180 ° 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若 α 是直线 l 的倾斜角，则 0°≤α＜180°.(　　) (2)若 k 是直线的斜率，则 k∈R.(　　) (3)任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率．(　　) (4)任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．(　　) 【答案】（1）√（2）√（3）√（4）× 2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是(　　) A．0° B．45°C．60° D．90° 【答案】A 【解析】∵k＝＝0，∴θ＝0°. 3．已知直线 l 的倾斜角为 30°，则直线 l 的斜率为(　　) A. B. C．1 D. 【答案】A 【解析】由题意可知，k＝tan 30°＝.故选 A. 4．已知直线 AB 与直线 AC 有相同的斜率，且 A(1,0)，B(2，a)，C(a,1)，则实数 a 的值是________． 【答案】 【解析】依题意：kAB＝kAC，即＝，解得 a＝. 题型一　求直线的倾斜角 【例 1】设直线 l 过原点，其倾斜角为 α，将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 40°，得直线 l1，则直线 l1 的倾斜角为(　　) A．α＋40° B．α－140° C．140°－α D．当 0°≤α＜140°时为 α＋40°，当 140°≤α＜180°时为 α－140° 【答案】D 【解析】根据题意，画出图形，如图所示： 因为 0°≤α＜180°，显然 A，B，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知： 当 0°≤a＜140°时，l1 的倾斜角为 α＋40°； 当 140°≤α＜180°时，l1 的倾斜角为 40°＋α－180°＝α－140°.故 D. 【方法技巧】 求直线倾斜角的两点注意： ① 当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0 °，当直线与 x 轴垂直时，倾斜角为 90 °. ② 注意直线倾斜角的取值范围是 0 °≤α＜180 °. 【方法技巧】 求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. 【变式训练】 1.如图，直线 l 的倾斜角为(　　) A．60° B．120° C．30° D．150° 【答案】D　 【解析】由图易知 l 的倾斜角为 45°＋105°＝150°. 2.一条直线 l 与 x 轴相交，其向上的方向与 y 轴正方向所成的角为 α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(　　) A．α B．180°－α C．180°－α 或 90°－α D．90°＋α 或 90°－α 【答案】(2)D 【解析】(2)如图，当 l 向上方向的部分在 y 轴左侧时，倾斜角为 90°＋α；当 l 向上方向的部分在 y 轴右侧时， 倾斜角为 90°－α.故选 D. 题型二　求直线的斜率 【例 2】 (1)如图，直线 l1 的倾斜角 α1＝30°，直线 l1⊥l2，求 l1、l2 的斜率； (2)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． 【解析】(1)l1 的斜率 k1＝tan α1＝tan 30°＝. ∵l2 的倾斜角 α2＝90°＋30°＝120°，∴l2 的斜率 k2＝tan 120°＝tan(180°－60°)＝－tan 60°＝－. (2)当 a＝3 时，斜率不存在； 当 a≠3 时，直线的斜率 k＝. 【方法技巧】 1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 k＝tan α(α≠90°)解决． 2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k＝(x1≠x2)求解． 3．涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解． 【变式训练】 (1)已知过两点 A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为 135°，则 y＝________； (2)过点 P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为 1，则 m 的值为________． 【答案】(1)－5　(2)1 【解析】(1)直线 AB 的斜率 k＝tan 135°＝－1，又 k＝，由＝－1，得 y＝－5. (2)由斜率公式 k＝＝1，得 m＝1 题型三　直线斜率的应用 【例 3】已知两点 A(－3,4)，B(3,2)，过点 P(1,0)的直线 l 与线段 AB 有公共点． (1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围； (2)求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围． 【分析】结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线 PB 与直线 PA 的倾斜角之间，要特别注意，当 l 的倾斜角小 于 90 °时，有 k≥kPB；当 l 的倾斜角大于 90 °时，则有 k≤kPA. 【解析】如图，由题意可知 kPA＝＝－1，kPB＝＝1， (1)要使 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间，又 PB 的倾斜角是 45°，PA 的倾斜角是 135°，∴α 的取值范围是 45°≤α≤135°. 【方法技巧】 ① 直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是 90 °时．直线的斜率不存在，此时，直线 垂直于 x 轴(平行于 y 轴或与 y 轴重合)． ② 直线的斜率也反映了直线相对于 x 轴的正方向的倾斜程度．当 0 °≤α＜90 °时，斜率越大，直线的倾斜程 度越大；当 90 °＜α＜180 °时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大． 【变式训练】 1.已知 A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)， (1)求直线 AB 和 AC 的斜率． (2)若点 D 在线段 BC(包括端点)上移动时，求直线 AD 的斜率的变化范围． 【解析】(1)由斜率公式可得直线 AB 的斜率 kAB＝＝.直线 AC 的斜率 kAC＝＝.故直线 AB 的斜率为，直线 AC 的斜率为. (2)如图所示，当 D 由 B 运动到 C 时，直线 AD 的斜率由 kAB 增大到 kAC，所以直线 AD 的斜率的变化范围是 [，]. 1．过点 A(－，)与点 B(－，)的直线的倾斜角为(　　) A．45° B．135° C．45°或 135° D．60° 【答案】A　 【解析】因为斜率 k＝＝1，所以倾斜角为 45°. 2.若图中直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 【答案】D　 【解析】由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，且 l2 比 l3 的倾斜角大，∴k1<k3<k2.] 3．若点 A(－1，－2)，B(4,8)，已知 AB 的方向向量为(1，k)，则实数 k 的值为(　　) A． B．－ C．2 D．－2 【答案】C　 【解析】AB 的方向向量坐标为(4＋1,8＋2)，即(5,10)．又(1，k)也是 AB 的方向向量，∴k＝＝2.] 4．设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当 0°≤α＜135°时，倾斜角为 α＋45°；当 135°≤α＜180°时，倾斜角为 α－135° 【答案】D　 【解析】根据题意，画出图形，如图所示． A，B，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过图形可知： 当 0°≤α＜135°时，l1 的倾斜角为 α＋45°； 当 135°≤α＜180°时，l1 的倾斜角为 45°＋α－180°＝α－135°.] 5．如果直线 l 过点(1,2)，且不通过第四象限，那么 l 的斜率的取值范围是(　　) A．[0,1] B．[0,2] 1 [0, ] 2 C． D．(0,3] 【答案】B　 【解析】如图，经过(1,2)和(0,0)的斜率 k＝2，若 l 不通过第四象限，则 0≤k≤2.故选 B.] 6．设 P 为 x 轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若直线 PA 的斜率 kPA 是直线 PB 的斜率 kPB 的 2 倍，则点 P 的 坐标为________． 【答案】(－5,0)　 【解析】[设 P(x,0)，由条件 kPA＝2kPB，则＝2×，解得 x＝－5，故 P(－5,0)．] 7．已知点 A(1,2)，若在坐标轴上有一点 P，使直线 PA 的倾斜角为 135°，则点 P 的坐标为________． 【答案】(3,0)或(0,3) 【解析】　[由题意知 kPA＝－1，若 P 点在 x 轴上，则设 P(m,0)，则＝－1，解得 m＝3；若 P 点在 y 轴上， 则设 P(0，n)，则＝－1，解得 n＝3，故 P 点的坐标为(3,0)或(0,3)．] 8．若经过点 P(1－a,1＋a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数 a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【解析】　[由 k＝＝＞0 得 a＞1 或 a＜－2.] 9．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线． 【解析】∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)， ∴kAB＝＝2，kAC＝＝2.∴kAB＝kAC. ∵直线 AB 与直线 AC 的倾斜角相同且过同一点 A， ∴直