2020～2021 学年高三年级模拟考试卷 数　　学 (满分：150 分　考试时间：120 分钟) 2021．05 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1. 设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3＋4i，则 z1z2＝(　　) A. －25　B. 25 C. 7－24i　D. －7－24i 2. 已知集合 A＝(3，＋∞)，集合 B＝{x|3x>9}，则 x∈A 是 x∈B 的(　　) A. 充分不必要条件　B. 必要不充分条件 C. 充要条件　D. 既不充分也不必要条件 3. 已知 a，b 为单位向量，且 a·b＝0.若 c＝3a－b，则 cos 〈a，c〉＝(　　) A. 　B. 　C. 　D. 4. 函数 f(x)＝cos x·ln (＋x)的图象大致是(　　) 5. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群．该塔群随山 势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶 1 座，第二阶 3 座，第三阶 3 座，第四阶 5 座， 第五阶 5 座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为 5，公差为 2 的等差数列，总计 108 座， 故名一百零八塔．则该塔的阶数是(　　) A. 10　B. 11 C. 12　D. 13 6. 若 λsin 160°＋tan 20°＝，则实数 λ 的值为(　　) A. 3　B. 　C. 2　D. 4 7. 已知矩形 ABCD，AB＝1，AD＝2，点 E 为边 BC 的中点，将△ABE 沿 AE 翻折，得到四棱 锥 BAECD，且平面 BAE⊥平面 AECD，则四面体 BECD 的外接球的表面积为(　　) A. π　B. 4π　C. π　D. 5π 8. 已知 ea－2＝(a≠2)，eb－3＝(b≠3)，ec－4＝(c≠4)，则(　　) A. c<b<a　B. c<a<b　 C. a<b<c　D. a<c<b 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，不选或有错选的得 0 分． 9. 高三(1)班有 45 人，拟采用无记名投票方式从 5 名候选人中选出 3 名优秀学生．选举规则 为每人必须投且只能投一票，限在候选人中选择，候选人获票数居前三名的当选．在当选的 3 名候选人中，由票数高低决定获奖等次，分别为省级三好学生、市级三好学生、区级三好 学生，由事前的民意调查得知，候选人张某的得票数刚好达到候选人得票数的平均数，如果 张某决定投自己一票，请问下面预测张某当选结果中正确的有(　　) A. 不可能获省三好学生称号　B. 可能获市三好学生称号 C. 一定能获奖　D. 可能落选 10. 已知函数 f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，φ∈(0，))的部分图象如图所示，则下列说法中正确的 有(　　) A. f(x)的周期为 π B. f(x)的单调递减区间是(2k－，2k＋)(k∈Z) C. f(x)的图象的对称轴方程为 x＝k－(k∈Z) D. f(2 020)＋f(2 021)＝0 11. 已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1，F2，其中 F1F2＝2c.直线 l：y＝k(x＋ c)(k∈R)与椭圆交于 A，B 两点．则下列说法中正确的有(　　) A. △ABF2 的周长为 4a B. 若 AB 的中点为 M，则 kOM·k＝ C. 若 AF1·AF2＝3c2，则椭圆的离心率的取值范围是[，] D. 若 AB 的最小值为 3c，则椭圆的离心率 e＝ 12. 将 2n(n∈N*)个有编号的球随机放入 2 个不同的盒子中，已知每个球放入这 2 个盒子的可 能性相同，且每个盒子容纳球数不限，记 2 个盒子中最少的球数为 X(0≤X≤n，X∈N*)，则 下列说法中正确的有(　　) A. 当 n＝1 时，方差 D(X)＝ B. 当 n＝2 时，P(X＝1)＝ C. ∀n≥3，∃k∈[0，n)(k，n∈N*)，使得 P(X＝k)>P(X＝k＋1)成立 D. 当 n 确定时，数学期望 E(X)＝ 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知函数 f(x) ＝x(ln x＋1)，则 f(x)在(1，f(1))处的切线方程为________． 14. 已知随机变量 X～N(2，σ2).若 P(X≥4)＝0.1，则 P(0<X<4)＝________． 15. 已知在(x－)n(n∈N*)的展开式中，笫 5 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数之比为 5∶2，则展开式中的常数项为________，此时 C2i－1＝________．(结果用数字表示). 16. 三等分角是古希腊三大几何难题之一．公元 3 世纪末，古希腊数学家帕普斯利用双曲线 解决了三等分角问题．如图，已知圆心角 ACB 是待三等分的角(0<∠ACB<π).具体操作方法 如下：在弦 AB 上取一点 D，满足 AD＝2DB，以 AD 为实轴，AD 为虚轴作双曲线，交圆弧 AB 于点 M，则∠ACM＝2∠MCB，即 CM 为∠ACB 的三等分线．已知双曲线 E 的方程为－ ＝1，点 A，D 分别为双曲线 E 的左、右顶点，点 B 为其右焦点，点 C 为双曲线 E 的右准线 上一点，且不在 x 轴上．若扇形 CMB 的面积为，则的值为________． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分 10 分) 在△ABC 中，∠BAC＝，AC＝2. (1) 若 BC＝，求△ABC 的面积； (2)若DC＝2BD，AD＝，求 BC 的长． 18. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝5an(n∈N*)，数列{bn}是公差不为 0 的等差数列． 若{bn}满足________，________． 在① b1，b2，b4 成等比数列，② a2＝b1＋b4，③ b2n＝2bn＋1(n∈N*)这三个条件中任选两 个，补充到上面的问题中．若问题中的数列{bn}存在，求数列{}的前 n 项和 Sn；若问题中的 数列{bn}不存在，请说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19. (本小题满分 12 分) 2021 年 4 月 17 日，江苏园博会正式向公众开放，昔日废弃采矿区化茧成蝶，变身成了 “世界级山地花园群”，园博园的核心景区苏韵荟谷以流水串联，再现了江苏 13 个地市历史 名园的芳华，行走其间，仿佛穿游在千年历史长河中，吸引众多游客前来打卡．某旅行社开 发了江苏园博园一日游线路，考虑成本与防疫要求，每团人数限定为不少于 35 人，不多于 40 人．除去成本，旅行社盈利 100 元/人．已知该旅行社已经发出的 10 个旅游团的游客人数 如下表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 游客人数 39 35 38 38 36 39 40 37 40 38 (1) 该旅行社计划从这 10 个团队中随机抽取 3 个团队的游客，就服务满意度进行回访，求这 3 个团队人数不全相同的概率； (2) 预计暑假期间发团 200 个，将盈利总额记为 X(单位：万元)，用上表中的频率估计概率， 求 X 的分布列及数学期望． 20. (本小题满分 12 分) 如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成．其中，∠FAB＝90°，AB＝ AF＝2，点 G 为弧 CD 的中点，且 C，G，D，E 四点共面． (1)求证：D，G，B，F 四点共面； (2) 若平面 BDF 与平面 ABG 所成锐二面角的余弦值为，求 AD 长． 21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 E(0 ，2)，以 OE 为直径的圆与抛物线 C：x2 ＝ 2py(p>0)交于点 M，N(异于原点 O)，MN 恰为该圆的直径．过点 E 作直线交抛物线于 A，B 两点，过 A，B 两点分别作抛物线 C 的切线交于点 P. (1) 求证：点 P 的纵坐标为定值； (2) 若点 F 是抛物线 C 的焦点，求证：∠PFA＝∠PFB. 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝tan x－sin x，g(x)＝x－sin x，x∈(0，). (1) 求证：关于 x 的方程 f(x)－g(x)＝x 在(0，)上有且仅有一个实数根； (2) 当 x∈(0，)时，f(x)≥ag(x)，求实数 a 的最大值． 2020～2021 学年高三年级模拟考试卷 数　　学 (满分：150 分　考试时间：120 分钟) 2021．05 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1. 设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3＋4i，则 z1z2＝(　　) A. －25　 B. 25 C. 7－24i　 D. －7－24i 【答案】A 【考点】复数的运算 【解析】由题意可知，z2＝－3＋4i，所以 z1z2＝(3＋4i)(－3＋4i)＝－25，故答案选 A. 2. 已知集合 A＝(3，＋∞)，集合 B＝{x|3x>9}，则 x∈A 是 x∈B 的(　　) A. 充分不必要条件　B. 必要不充分条件 C. 充要条件　D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【考点】集合的运算、条件的判断 【解析】由题意可知，B＝(2，＋∞)，则 x∈Ax∈B，x∈Bx∈A，所以 x∈A 是 x∈B 的充分 不必要条件，故答案选 A. 3. 已知 a，b 为单位向量，且 a·b＝0.若 c＝3a－b，则 cos<a，c>＝(　　) A. 　B. 　C. 　D. 【答案】C 【考点】平面向量的数量积运算 【 解 析 】 由 题 意 a·b ＝ 0 ， 可 设 a ＝ (1 ， 0) ， b ＝ (0 ， 1) ， 则 c ＝ 3a － b ＝ (3 ， － ) ， 所 以 cos<a，c>＝＝＝，故答案选 C. 4. 函数 f(x)＝cosx·ln(＋x)的图象大致是(　　) 【答案】B 【考点】函数图像的识别与判断 【解析】由题意可知，f(－x)＝cos(－x)ln(－x)＝cosxln(－x)＝－cosxln(＋x)＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数，则排除选项 CD，又 f(0)＝f()＝0，且 f()＝cosln(＋)＞0，则排除选项 A，故答 案选 B. 5. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏