考点 08 对数与对数函 数 【命题趋势】 指数函数与对数函数常在一起进行考查，关于函数的其他知识的考查也常以指数函数 或对数函数为背景，尤其是对数函数，在复习过程中，我们要做到以下几点： （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或 常用对数；了解对数在简化运算中的作用. （2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点. （3）知道对数函数是一类重要的函数模型. x （4）了解指数函数 y  a 与对数函数 y  log a x 互为反函数 (a  0, 且a �1) . 【重要考向】 一、对数式的化简与求值 二、对数函数的图象 三、对数函数性质的应用 四、对数函数的复合函数问题 对数式的化简与求值 对数与对数运算 1．对数的概念 x （1）对数：一般地，如果 a  N ( a  0, 且a �1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作 x  log a N ，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数. （2）牢记两个重要对数：常用对数，以 10 为底的对数 lgN；自然对数，以无理数 e=2.71828…为底数的对数 lnN. （3）对数式与指数式的互化： a  N � x  log a N . x 2．对数的性质 根据对数的概念，知对数 log a N ( a  0, 且a �1) 具有以下性质： （1）负数和零没有对数，即 N  0 ； （2）1 的对数等于 0，即 log a 1  0 ； （3）底数的对数等于 1，即 log a a  1 ； （4）对数恒等式 a log a N  N ( N  0) . 3．对数的运算性质 如果 a  0, 且a �1, M  0, N  0 ，那么： N ) = log a M + log a N ； （1） log a ( M � （2） log a M = log a M  log a N ； N n （3） log a M = nlog a M ( n �R ) . 4．对数的换底公式 对数的换底公式： log b N  log c N (b  0, 且且 b �1; c  0, log c b c �1; N  0) . 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底 公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以 10 为底的常用对数或 以 e 为底的自然对数. 换底公式的变形及推广： （1） （2） n log a b(a  0且a �1, b  0) ； m log am b n  log a b  1 ( a  0且且 a �1; b  0 b �1) ； log b a log b c � log c d  log a d (其中 a，b，c 均大于 0 且不等于 1，d>0). （3） log a b � 【巧学妙记】 N ) = log a M + log a N 与 （ 1 ） 在 利 用 对 数 的 运 算 性 质 log a ( M � log a M n = nlog a M (n �R ) 进行化简与求值时，要特别注意题目的前提条件， 保证转化关系的等价性． （2）注意利用等式 lg 2  lg 5  1 . 【典例】 1.计算：＝ . 【答案】　1 【解析】　原式＝ ＝ ＝＝＝＝1. 2 2.已知函数 f x  1  3 x ,若 f  1og 3 a   ,则   a 2 1 A． 3 1 B． 4 1 C． 2 D． 2 【答案】D 【解析】根据题意有 f  log 3 a   1  3  log3 a 故选 D．  1 1 2  . ，解得 a 2 a2 3.化简：（ ） log 3 27  lg25  lg4  7 1 （ ） lg 25  2 log7 1 2 0   9.8  ； 2 2 lg 8  lg 5 �lg 20   lg 2  ． 3 【答案】（1）5；（2）3. 【解析】（ ） log 3 27  lg25  lg4  7 1 3  log3 3 2  lg52  lg22   log7 1 2   9.8  1 1 2 3 3  2lg5  2lg2  2 2  3  2  lg 5  lg 2   3  2lg10  3  2 �1 5． （ ） lg 25  2 2 2 lg 8  lg 5 �lg 20   lg 2  3 2 2  lg 52  lg 23  lg 5 � lg 5  lg 4    lg 2  3  2 lg 5  2 lg 2   lg 5   2 lg 5 �lg 2   lg 2  2  2  lg 5  lg 2    lg 5  lg 2   2 lg10   lg10  2 2 2  2 1  3． 对数函数的图像 0 对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数 y =log a x(a  0, 且a �1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的 定义域是 (0, �) . 2．对数函数的图象 一般地，对数函数 y =log a x( a  0, 且a �1) 的图象与性质如下表所示： 0  a 1 a 1 图象 【巧学妙记】 在直线 x  1 的右侧，当 a  1 时，底数越大，图象越靠近 x 轴； 当 0  a  1 时，底数越小，图象越靠近 x 轴，即“底大图低”． 【典例】 4.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≥0 时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数 f(x)的大 致图象为(　　) 【答案】　C 【解析】　先作出当 x≥0 时，f(x)＝ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象 关于 y 轴对称的图象，可得函数 f(x)在 R 上的大致图象，如选项 C 中图象所示． 5.函数 f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】　B 【解析】　函数 f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点个数即方程|log0.5x|＝x 的解的个数，即函数 y ＝|log0.5x|与函数 y＝x 图象交点的个数，作出两函数的图象(图略)可知它们有 2 个交点． 对数函数性质的应用 对数函数的性质 一般地，对数函数 y =log a x( a  0, 且a �1) 的性质如下表所示： 0  a 1 a 1 图象 (0, �) 定义域 R 值域 过定点 (1, 0) ，即 x  1 时， y  0 在 (0, �) 上是减函数 在 (0, �) 上是增函数 当 x＞1 时，y＜0； 当 x＞1 时，y＞0； 当 0＜x＜1 时，y＞0 当 0＜x＜1 时，y＜0 性质 【巧学妙记】 （1）比较对数式的大小： ① 若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一 字母，则需对底数进行分类讨论； ② 若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较； ③ 若底数与真数都不同，则常借助 1,0 等中间量进行比较． （2）解对数不等式： ① 形如 log a x  log a b 不确定，需分 ② 形如 a 1 log a x  b y =log a x 与 的不等式，借助 0  a 1 y  log a x 的单调性求解，如果 a 的取值 两种情况讨论； 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式，再借助 的单调性求解． 【典例】 6.已知 a  log 8 5 ， b  log 4 3 ， A． C． c 2 3 ，则 a ， b ， c 的大小关系是 abc B． bca D． 【答案】B 1 a  log 8 5  log 23 5  log 2 5  log 2 3 5 【解析】∵ ， 3 b  log 4 3  log 22 3  c 2 2  log 2 2 3 ， 3 1 log 2 3  log 2 3 ， 2 bac cba 3 � 23 � 2 2 � 2  4  又∵ � � � 且对数函数 cab  5 3 3  5  25   3 3  27 ， y  log 2 x 在  0, � 上单调递增， . 故选 B． 7.方程 log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为 ． 答案　x＝ 解析　原方程变形为 log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即 x2－1＝4，解得 x＝±， 又 x>1，所以 x＝. log a (4  x)   log 1 x 8.求不等式 【解析】∵ a  log 1 x  log a x a 的解集. ， ∴原不等式等价于 log a (4  x)  log a x ， �x  0 � 4  x  0 ，解得 0＜x＜2． 当 >1 时， � � 4 x  x � a �x  0 � 4  x  0 ，解得 2＜x＜4． 当 时， � � 4 x  x � 0  a 1 ∴不等式 log a (4  x)   log 1 x a 的解集为 (0, 2) U (2, 4) ． 对数函数的复合函数问题 对数复合函数的解题步骤 求形如 y  log a f  x  的复合函数的单调区间，其一般步骤为： ① 求定义域，即满足 f  x   0 的 x 的取值集合； ② 将复合函数分解成基本初等函数 y  log a u 及 u  f  x  ； ③ 分别确定这两个函数的单调区间； ④ 若 这 两 个 函 数 同 增 或 同 减 ， 则 y  log a f  x  为 增 函 数 ， 若 一 增 一 减 ， 则 y  log a f  x  为减函数，即“同增异减”. 【巧学妙记】 与对数函数相关的复合函数问题， 即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题等， 解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的