绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清 楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷 上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合 A={x | x  1} ， B  { x | x  2} ，则 A∩B= A．(-1，+∞) B．(-∞，2) C．(-1，2) D． � 2．设 z=i(2+i)，则 z = A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i 3．已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|= A． 2 B．2 C．5 2 D．50 4．生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只 测量过该指标的概率为 2 A． 3 3 B． 5 2 C． 5 1 D． 5 5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 6．设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)= A． C． ex 1 ，则当 x<0 时，f(x)= e x  1 e  x  1 B． D． e x  1 e  x  1 7．设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是 A．α 内有无数条直线与 β 平行 B．α 内有两条相交直线与 β 平行 C．α，β 平行于同一条直线 D．α，β 垂直于同一平面   8．若 x1= 4 ，x2= 4 是函数 f(x)= sin  x (  >0)两个相邻的极值点，则  = A．2 3 B． 2 C．1 1 D． 2 x2 y2  1 9．若抛物线 y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 3 p 的一个焦点，则 p= p A．2 B．3 C．4 D．8 10．曲线 y=2sinx+cosx 在点(π，-1)处的切线方程为 A． C． x  y   1  0 2 x  y  2  1  0 11．已知 a∈（0， B． D． 2 x  y  2  1  0 x  y   1  0 π ），2sin2α=cos2α+1，则 sinα= 2 1 A． 5 5 B． 5 3 C． 3 2 5 D． 5 x2 y 2  1 12．设 F 为双曲线 C： a 2 b2 （a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为 3 A． 2 B． C．2 D． 5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 2 x  3 y  6 �0， � � x  y  3 �0， 则 z=3x–y 的最大值是___________. 13．若变量 x，y 满足约束条件 � �y  2 �0， � 14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率 的估计值为___________. △ ABC 15． 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 bsinA+acosB=0，则 B=___________. 16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但 南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多 边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有 顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1．则该半正多面体共有________个面，其棱 长为_________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1． （1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 E  BB1C1C 的体积． 18．（12 分） 已知 {an } （1）求 （2）设 是各项均为正数的等比数列， {an } 的通项公式； bn  log 2 an 19．（12 分） a1  2, a3  2a2  16 ，求数列 {bn } 的前 n 项和． . 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度 相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表． y 的分组 [  0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80) 2 24 53 14 7 企业数 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表）．（精确到 0.01） 附： 74 �8.602 . 20．（12 分） x2 y 2 C : 2  2  1( a  b  0) 已知 F1 , F2 是椭圆 的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原点． a b （1）若 △ POF2 为等边三角形，求 C 的离心率； （2）如果存在点 P，使得 PF1  PF2 ，且 △ F1 PF2 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围． 21．（12 分） 已知函数 （1） （2） f ( x)  ( x  1) ln x  x  1 f ( x) ．证明： 存在唯一的极值点； f ( x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在极坐标系中，O 为极点，点 M ( 0 ,  0 )(  0  0) 在曲线 C :   4sin  上，直线 l 过点 A(4, 0) 且与 OM 垂直，垂足为 P. （1）当 0 =  3 时，求 0 及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 f ( x) | x  a | x  | x  2 | ( x  a ). （1）当 （2）若 a 1 时，求不等式 x �(�,1) 时， f ( x)  0 f ( x)  0 的解集； a ，求 的取值范围. 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学·参考答案 1．C 2．D 3．A 4．B 5．A 6．D 7．B 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A 14．0.98 3π 15． 4 16．26； 2  1 13．9 17．解：（1）由已知得 B1C1⊥平面 ABB1A1，BE �平面 ABB1A1， 故 B1C1  BE ． 又 BE  EC1 ，所以 BE⊥平面 EB1C1 ． （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ∠ BEB1=90°. 由 题 设 知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E ， 所 以 AE=AB=3， 作 AA1  2 AE  6 EF  BB1 �AEB  �A1 EB1  45� ，故 . ，垂足为 F，则 EF⊥平面 BB1C1C ，且 EF  AB  3 ． 1 V  �3 �6 �3  18 E  BB C C 所以，四棱锥 的体积 ． 1 1 3 18．解：（1）设  an  的公比为 q，由题设得 2q 2  4 q  16 解得 因此 q  2 ，即 q 2  2q  8  0 ． （舍去）或 q=4．  an  的通项公式为 an  2 �4n1  22 n1 ． （2）由（1）得 bn  (2n  1) log 2 2  2n  1 ，因此数列  bn  的前 n 项和为 1  3  L  2n  1  n 2 ． 19．解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的 100 个企业中产值增长率不低于 40%的企业频率 14  7  0.21 为 100 ． 2  0.02 产值负增长的企业频率为 100 ． 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例为 21%，产值负增长的 企业比例为 2%． （2） s2   y 1 (0.10 �2  0.10 �24  0.30 �53  0.50 �14  0.70 �7)  0.30 ， 100 1 5 2 ni  yi  y  � 100 i 1 1 � ( 0.40) 2 �2  (0.20) 2 �24  02 �53  0.20 2 �14  0.402 �7 � � � 100 =0.0296 ， s  0.0296  0.02 � 74