2021 年高考数学真题名师评析（新高考全国 2 卷带解析） 本资料分试卷使用地区、试卷总评、考点分布细目表、试题深度解读四个模块,其中试题深度解读模块又分 为【命题意图】【答案】【解析】【点评】【知识链接】等栏目,其中【解析】中尽可能提供多种解法供参 考.本资料部分内容来源于网络 一、 试卷使用地区 海南、辽宁、重庆 二、试卷总评 2021 年新高考数学全国 2 卷命题,坚持思想性与科学性的高度统一,发挥数学应用广泛、联系实际的学科特 点,命制具有教育意义的试题,试题运用我国社会主义建设和科技发展的重大成就作为情境,深入挖掘我国社 会经济建设和科技发展等方面的学科素材,引导考生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展,增强民族 自豪感与自信心,增强国家认同,增强理想信念与爱国情怀.如本卷第 4 题以我国航天事业的重要成果北斗三 号全球卫星导航系统为试题情境设计立体几何问题 ,考查考生的空间想象能力和阅读理解、数学建模的 素养；本卷第 21 题取材于生命科学中的真实问题,考查数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素 养,体现了基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求；本卷第 6 题,以某物理量的测量为背景 ,考查 正态分布基本知识的理解与应用 ,引导考生重视数学实验,重视数学的应用.《深化新时代教育评价改革总 体方案》提出,构建引导考生德智体美劳全面发展的考试内容体系,改变相对固化的试题形式,增强试题开放 性,减少死记硬背和“机械刷题”现象.本卷命题积极贯彻《总体方案》要求,加大开放题的创新力度,利用开放 题考查考生数学学科核心素养和关键能力,发挥数学科的选拔功能.如本卷第 14 题的答案是开放的,给不同 水平的考生提供充分发挥数学能力的空间,在考查思维的灵活性方面起到了很好的作用；本卷第 18 题基 于课程标准,重点考查考生的逻辑推理能力和运算求解题能力,在体现开放性的同时,也考查了考生思维 的准确性与有序性；本卷第 22 题第（2）问是一道“结构不良问题” ,对考生的逻辑推理能力、数学抽象 能力、直观想象能力等有很深入的考查,体现了素养导向、能力为重的命题原则.总之,2021 年高考数学全 国卷试题很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能,同时突出数学学科特色,发挥了高 考数学科的选拔功能,对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用. 三、考点分布细目表 题号 命题点 模块（题目数） 1 复数的除法运算 复数（共 1 题） 2 集合的交集与补集运算 集合（共 1 题） 3 抛物线的方程与几何性质 解析几何（共 4 题） 4 球的实际应用 立体几何（共 4 题） 5 棱台的体积 立体几何（共 4 题） 6 正态分布 概率统计（共 3 题） 7 对数式大小的比较 函数（共 4 题） 8 函数的奇偶性 函数（共 4 题） 9 样本的数字特征 概率与统计（共 3 题） 10 空间几何体中的线面位置关系 立体几何（共 4 题） 11 直线与圆 解析几何（共 4 题） 12 数列 数列（共 2 题） 13 双曲线的几何性质 解析几何（共 4 题） 14 函数与导数 1.函数（共 4 题） 2.导数（共 3 题） 15 平面向量的数量积 平面向量（共 3 题） 16 导数的几何意义 导数（共 3 题） 17 数列的通项与求和 数列（共 2 题） 18 解三角形 三角函数与解三角形（共题） 19 线面位置关系的证明及空间角的计算 立体几何（共 4 题） 20 圆与椭圆 解析几何（共 4 题） 21 概率的应用 1.概率统计（共 3 题） 2. 不等式（共 2 题） 22 用导数研究函数单调性、不等式证明 1.导数（共 3 题） 2.函数（共 4 题） 3.不等式（共 2 题） 四、试题深度解读 1. 在复平面内,复数 A.第一象限 2i 对应的点位于（ ） 1  3i B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【命题意图】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容 易 【答案】A 【解析】因为 象限,故选 A. 2  i  2  i   1  3i  5  5i 1 1 1 1� =    i ,所以该复数在复平面内对应的点为 � , �,在第一 � 1  3i  1  3i   1  3i  10 2 2 �2 2 � 【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前 3 题的位置上,考查热点一是 复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除 运算. 【知识链接】 解复数运算问题的常见类型及解题策略 (1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项,不含 i 的看作 另一类同类项,分别合并即可． (2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把 i 的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简 ,一般化为 a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相 关定义解答． (4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简 ,一般化为 a＋bi(a,b∈R)的形式,再结 合复数的几何意义解答． 2. 若全集 U   1, 2,3, 4, 5, 6 ,集合 A   1,3, 6 , B   2, 3, 4 , 则 A I � UB  （ A.  3 B.  1.6 C.  5, 6 ） D.  1, 3 【命题意图】本题考查集合的交集与补集运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易 【答案】B 1.6 , 【解析】因为 U   1, 2,3, 4,5, 6 , B   2, 3, 4 , 所以 � U B   1,5, 6 ,因为 A   1,3, 6 ,所以 A I � UB   故选 B. 【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前 3 题的位置上,考查热点一是 集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,这种考查方式多年来保持稳定.本题所给两个集合,都是 离散的数集,无需化简,足见命题者有意降低试题难度,突出对交集与补集概念的考查. 【知识链接】求解集合的运算问题的三个步骤： (1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数 集、点集还是图形集等,如{x|y＝f(x)},{y|y＝f(x)},{(x,y)|y＝f(x)}三者是不同的．； (2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决； (3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn). 2 3. 若抛物线 y  2 px( p  0) 焦点到直线 y  x  1 的距离为 2 ,则 p  （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【命题意图】本题考查抛物线的方程与几何性质及点到直线距离公式,考查数学运算的核心素养.难度：容 易. 【答案】B p 1 �p � 2 ,0 d   2 ,所以 【解析】抛物线 y 2  2 px( p  0) 的焦点坐标 �2 � p 2, � �到直线 y  x  1 的距离 2 故选 B. 【点评】解析几何中抛物线是必考知识点,或在客观题中,或在解答题中. 【知识链接】 (1)设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F 的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ①x1x2＝,y1y2＝－p2. ②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α 为弦 AB 的倾斜角)． ③以弦 AB 为直径的圆与准线相切． ④通径：过焦点垂直于对称轴的弦,长等于 2p,通径是过焦点最短的弦． (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、 顶点、准线的问题更是如此． 4. 卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨迹高度为 36000km （轨 道高度指卫星到地球表面的最短距离）,把地球看成一个球心为 O 半径为 6400km 的球,其上点 A 的 纬度是指 OA 与赤道所在平面所成角的度数,地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步卫星的点 的纬度的最大值记为  ,该卫星信号覆盖的地球表面面积 S  2 r (1  cos  ), （单位： km 2 ）,则 2 S 占地球表面积的百分比为（ ） A.26% B.34% C.42% D.50% 【命题意图】本题考查与求有关的计算问题,考查直观想象与数学建模的核心素养.难度：容易 【答案】C 【解析】由题意可得 cos   地球半径 6400 8 = = 地球半径卫星高度 + 36000+6400 53 , 2 r 2  1  cos   1  cos  45   � 所以 S 占地球表面积的百分比为 4 r 2 2 105 42%,故选 C. 【点评】本题以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫星导航系统为试题情境设计立体几何问题,考查考 生的空间想象能力和阅读理解、数学建模的素养,同时又能引导考生关注我国社会现实与经济、科技进步与 发展,增强民族自豪感与自信心,增强国家认同,增强理想信念与爱国情怀. 4 S  4 R 2 ,V   R 3 【知识素养】球的表面积与体积公式： 3 5. 正四棱台的上、下底面边长为 2,4,侧棱长为 2,则四棱台的体积为（ ） A. 20  12 3 B. C. 28 2 28 2 3 D. 56 3 【命题意图】本题考查棱台的体积,考查直观想象与数学运算的核心素养.难度：容易. 【答案】C 【 解 析 】 如 图 , 设 上 下 底 面 的 中 心 分 别 为 O1 , O2 , 过 B1 作 B1 M  OB , 垂 足 为 M, 则 O1B1  2, OB  2 2, BM  2 ,所以该棱台的高 h  B1M  4  2  2 ,所以该四棱台的体积为  h S +S下下 S S 3 上上  = 32  2 +4 + 2 2  22 �4 2 = 28 2 ,故选 C. 3 【点评】往年立体几何在高考中一般有 2 道客观题,1 道解答题,本题试卷除了第