三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦与正切公式      ． c o s c o s c o s  s i n s i n    1．两角和的余弦公式（简记 C（α+β））： 2．两角差的余弦公式（简记 C（α－β））：      ． c o s c o s c o s  s i n s i n    3．两角和（差）余弦公式的公式特征：①左加号，右减号；②同名函数之积的和与差；③ α、β 叫单角，α±β 叫复角，通过单角的正、余弦求和（差）的余弦值；④“正用”、“逆用”、 “变用”． 4．两角和的正弦公式（简记 S（α+β））：     ． s i n s i n c o s  c o s s i n    5．两角差的正弦公式（简记 S（α－β））：     ． s i n s i n c o s  c o s s i n    6．两角和（差）正弦公式的公式特征及用途：①左右运算符号相同；②右方是异名函数之 积的和与差，且正弦值在前，余弦值在后． 用途：可以由单角的三角函数值求复角（和角与差角）的三角函数值． tantan tan() 7．两角和的正切公式（简记 T（α+β））： 1tantan ． tantan tan() 8．两角差的正切公式（简记 T（α－β））： 1tantan ． 9．两角和（差）正切公式的公式特征及公式变形： ① 左边的运算符号与右边分子的运算符号相同，右边分子分母运算符号相反； �  k  � k, k  ,   � k  ( � Z ) ② 2 2 2 ． 公式变形：① ②      t a n  t a n  t a n (  ) ( 1  t a n t a n ) ；      t a n  t a n  t a n (  ) ( 1  t a n t a n ) ． 例 1：＝（　　）． A．－ B．－ C． D． 例 2：已知 sinα＝，cosβ＝－，α∈（，π），β∈（，π），求 sin（α＋β），sin（α－β）的 值． 例 3：求值： （1）（tan10°－）•； （2）[2sin50°＋sin10°（1＋tan10°）]•． 例 4：已知函数 f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－≤φ＜）的图象关于直线 x＝对称，且图 象上相邻两个最高点的距离为 π． （1）求 ω 和 φ 的值； （2）若 f（）＝（＜α＜），求 cos（α＋）的值． 二、二倍角公式 二倍角的正弦（简记 S2α）、余弦（简记 C2α）、正切（简记 T2α）公式（升幂公式）： s in 2   2 s in  c o s  2 2 2 2 c o s2   c o s   s in   2 c o s   112 s in  2 ta n     ta n 2  ， (  � k  ,2  � k  , � k � ) 2 1t a n 2 2 4 例 1：•＝（　　）． A．tanα B．tan2α C．1 D． 例 2：若 tanθ＝，则 cos2θ＋sin2θ＝________． 例 3：已知 cosα＝－，α∈（π，），求 sin2α，cos2α，tan2α 的值． 例 4：已知函数 f（x）＝cosx•sin（x＋）－cos2x＋，x∈R． （1）求 f（x）的最小正周期； （2）求 f（x）在闭区间[－，]上的最大值和最小值． 三、半角公式（这类公式不要求记忆） 半角的正弦（简记 S  2 ）、余弦（简记 C  2 ）、正切（简记 T  2 ）公式：  1  co s  ，  1  c o s  co s  � cos  ， 2 2 2 2  1  c o s  sin   � 1  co s  ， s in 2  ， ． 2 2 2 2  sin 1cos  1  c o s  tan   � 1  co s  ， tan   ta n 2  ， 2 1  co s  2 1cos sin 2 1  cos  2 例 1：cosθ＝－，＜θ＜3π，则 sin＝（　　）． A． B．－ C． D．－ 例 2：化简： （0＜α＜π）． 四、公式的变形与应用 1．合一变形 ⇒ 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 y  A s i n (  x   )  B 形式． b 22 a a c o s x  b s i n x a  b ( c o s x  s i n x ) 22 22 辅助角公式： a  b a  b 令 sin a a2b2 ， cos b a2b2 ，  c o s x  b s i n xa  bx s i n (  ) ∴a ， 2 2 其中 θ 为辅助角， ta n   a b ． 2．三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件， 灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： （1）角的变换：在三角化简、求值、证明中，表达式往往会出现较多的相异角，可根据角 与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异， 使问题获解．对角进行变形，如： ① 2α 是 α 的二倍； 4 α 是 2α 的二倍； α 是 α 2 的二倍； α 2 是 α 4 的二 倍； o 0 o o o o o 3 1 5 4 5  3 0 6 0  4 5  ② 2 ； π π π +α= −( −α ) 4 2 4 ③ α=( α+ β )−β ⑤ π π 2 α =( α +β )+( α− β )=( + α )−( −α ) 4 4 ，④ ， 等等． （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数．如在三角函数中正余 弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名． （3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例 如常数“1”的代换变形有：     22 o o 1  s i n  c o s  t a n c o t  s i n 9 0  t a n 4 5 ． （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处 理的方法．常用降幂公式有： 有时需要升幂，如对无理式 cos2   √ 1+cosα cos2 1 1cos2 sin2   ， ．降幂并非绝对， 2 2 常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：     x 1cosx� 2cos ， c o s 2  c o s  s i n  2 c o s  1  1  2 s i n 2， 22 2 2 x 1cosx� 2sin 2． （5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用． 若 AB   5 1  t a n A ) � ( 1  t a n B )  2 ． 4 或 4 ，则 ( （6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有 理，特殊值与特殊角的三角函数互化． 本章整合： 参考答案： 一、两角和与差的正弦、余弦与正切公式 例 1：【答案】C 【解析】∵sin47°＝sin（30°＋17°）＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°， ∴原式＝＝sin30°＝． 例 2：解：∵sinα＝，α∈（，π）， 2 15 � � 1 � � 17 �＝－． � ∴cosα＝－ 2 �5� 1�  � 13�＝， � ∵cosβ＝－，β∈（，π），∴sinβ＝ ∴sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×（－）＋（－）×＝－＝－， sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×（－）－（－）×＝． 例 3：解：（1）（tan10°－）• ＝（tan10°－tan60°）• ＝• ＝• ＝•＝－2． （2）[2sin50°＋sin10°（1＋tan10°）]• ＝• ＝•cos10° ＝2（sin50°cos10°＋sin10°•cos50°） ＝2sin60°＝． 例 4：解：（1）因为 f（x）的图象上相邻两个最高点的距离为 π， 所以 f（x）的最小正周期 T＝π，从而 ω＝＝2， 又因为 f（x）的图象关于直线 x＝对称， 所以 2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，…， 因－≤φ＜得 k＝0， 所以 φ＝－＝－． （2）由（1）得 f（）＝sin（2•－）＝． 所以 sin（α－）＝． 由＜α＜得 0＜α－＜． 2 1� � � 1sin �  � 1  � �� �4 �＝． � 6� 所以 cos（α－）＝ ＝ 2 因此 cos（α＋）＝sinα ＝sin[（α－）＋] ＝sin（α－）cos＋cos（α－）sin ＝×＋× ＝． 二、二倍角公式 例 1：【答案】B 【解析】原式＝•＝＝tan2α． 例 2：【答案】 【解析】cos2θ＋sin2θ＝cos2θ＋sinθcosθ＝＝＝＝×＝． 例 3：解：∵cosα＝－，α∈（π，）， 2 �12 � 1�  � �13�＝－， ∴sinα＝－＝－ ∴sin2α＝2sinαcosα＝2×（－）×（－）＝， cos2α＝2cos2α－1＝2×（－）2－1＝， tan2α＝＝． 例 4：解：（1）由已知，有 f（x）＝cosx•（sinx＋cosx）－cos2x＋ ＝sinx•cosx－cos2x＋ ＝sin2x－（1＋cos2x）＋ ＝sin2x－cos2x ＝sin（2x－）． 所以 f（x）的最小正周期 T＝＝π． （2）因为 f（x）在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数， f（－）＝－，f（－）＝－，f（）＝， 所以，函数 f（x）在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－． 三、半角公式（这类公式不要求记忆） 例 1：【答案】D 【解析】∵＜θ＜3π，∴＜＜，∴是第三象限