必修第二册期末复习专题一（平面向量） 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 已知 ， ，若 A． 3 B． 4 ，那么向量 C． 的夹角等于（ ） D． uuu v uuu v uuuv O V ABC BC 2 OA  OB  OC  0 ，那么（ D 2. 已知 是 所在平面内一点， 为 边中点，且 ） uuuv uuuv uuuv uuuv AO  OD A． B． AO  2OD vv 3. 已知向量 a, b 满足 A．4 v a 1 vv uuuv uuuv C． AO  3OD uuuv uuuv 2AO  OD D． v v v (2a  b)  （ b  1 ，则 a � ，a � B．3 C．2 ） D．0 uuur r uuur uuu r uuur △ ABC AB  c AC  b ．若点 D 满足 BD  2 DC ，则 AD  （ ） 4. 在 中， ， uur r 2r 1r b c A． 3 3 5. 若向量 5r 2r c b B． 3 3 ＝（1，2），  A．－ 4 ＝（1，－1），则 2  B． 3 1r 2r b c D． 3 3 2r 1r b c C． 3 3 ＋ 与  C． 4 － 的夹角等于（ ） 3 D． 4 6. 边长为 1 的正三角形 ABC 中，|AB－BC|的值为(　　) A．1 B．2 C. D. 7. 在 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 a 2  b 2  3bc,sin C  2 3 sin B ， 则角 A 为（ ） A． 30o B． 60o C． 120o D． 150o uuu v uuuv uuu v uuu v AB  4, AD  2, AB � AD  4 , 点 P 在边 CD 上，则 PA � ABCD PB 的 8. 平行四边形 中， 取值范围是（ ） A．[-1,8] B．  1, � C．[0,8] D．[-1,0] 二、多项选择题（本小题共四小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分） 9. 下列结论中，不正确结论的是(　　) A.如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反，那么 a＋b 的方向必与 a，b 之一的方向相同； B.在△ABC 中，必有AB＋BC＋CA＝0； C.若AB＋BC＋CA＝0，则 A，B，C 为一个三角形的三个顶点； D.若 a，b 均为非零向量，则 a＋b 的长度与 a 的长度加 b 的长度的和一定相等． ur uu r r r r ur uu r r ur uu r e ， e a  2 e  e ， b  ke  e a ， b 2 ， 1 2 1 2 ，给出以下结论，其中正确 10. 已知非零向量 1 满足 结论是（ ） r ur uu r r e e 1 A.若 与 2 不共线， a 与 b 共线，则 k  2 ； r ur uu r r e e B.若 1 与 2 不共线， a 与 b 共线，则 k  2 ； r ur uu r r e e k a b 1 C.存在实数 ，使得 与 不共线， 与 2 共线； r ur uu r r e e k a b 1 D.不存在实数 ，使得 与 不共线， 与 2 共线 r r a  ( x ,3) b 11. 已知向量 ，  (3, x) ，则下列叙述中，不正确是（ ） r r a A．存在实数 x，使 Pb r r r ( a B．存在实数 x，使  b)∥ a r r r ( ma  b)∥ a C．存在实数 x，m，使 r r r ( ma  b)∥ b D．存在实数 x，m，使 12. 点 O 在 A.若 Δ ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ⃗ OA+⃗ OB+ ⃗ OC=0⃗ ，则点 O 是 Δ ABC 的重心。 ） B.若 ⃗ AC ⃗ AB ⃗ ⃗ BC ⃗ BA ⃗ OA⋅( − )=OB⋅( − )=0 |⃗ AC| |⃗ AB| |⃗ BC| |⃗ BA| C.若 (⃗ OA+⃗ OB)⋅⃗ AB=(⃗ OB+ ⃗ OC )⋅⃗ BC=0 D.若 ⃗ OA⋅⃗ OB=⃗ OB⋅⃗ OC=⃗ OC⋅⃗ OA ，则点 O 是 ，则点 O 是 ，则点 O 是 Δ ABC 的垂心。 Δ ABC 的外心。 Δ ABC 的内心。 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把正确答案填在题中的横线 上） 13. 如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC 与 BD 交于 O 点，则BA－BC－OA＋OD＋ DA＝________. uuuv uuuv uuu v uuuv 14. 已知 OA  2, OB  4, OA.OB  4 ，则 ∠ AOB= ，以 Δ ABO 的面积为____ ___ r r 15. 已知两个单位向量 e1 , e 2 的夹角为  r r r r r r r r ，若向量 b1  e1  2e 2 , b 2  3e1  4e 2 ，则 b � 3 1 b2  ______. uuuu r uuu r uuur  ABC 5 AM  AB  3 AC ，则 ABM 与 ABC M 16. 若点 是 所在平面内的一点，且满足 的面积比为__． 四、简答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） r r r r a  4, b  2 ，求： � 17. 已知向量 a 与 b 的夹角   120 ，且 r r b； （1） a � r r r r ( a  b ) � ( a  2 b )； （2） r r | a b |. （3） r r r r r r r a  3, 4 b  9, x c     18. 已知平面向量 ， ，   4, y  ，且 a // b ， a  c r r b c （1）求 和 ； ur r r r r r ur r m  2 a  b n  a  c m n （2）若 ， ，求向量 与向量 的夹角的大小. v v v v v v a  tb  t �R  取最小值时， a � 0 b � 0 19. 已知 ， ，当 （1）求 t 的值； v v v v v b （2）若 a 、 b 共线且同向，求证： / / a  tb .   ur m  (2a  c, b) 与向量 20. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且向量 r n  (cos C ,cos B) 共线. （1）求 B； （2）若 b3 7 ， 21. 已知 （1）求 a3 ，且，求 BD 的长度. ， 与 的夹角为 ； . （2）求 为何值时， 22. 在 ABC （1）求 中，角 cos B . A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且 2a 2  2c 2  2b 2  3ac  0 的值； � � sin � 2B  � （2）求 4 �的值. � 必修第二册期末复习专题一（平面向量） 1. 【A】 解析： ，故选 A． 2. 【A】 解析： O 是 VABC 所在平面内一点， D 为 BC 边中点， . uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur r OB  OC  2 OD 2 OA  OB  OC  0 ， ∴ ，且 uuur uuur uuu v uuuv v OA  OD  0 AO  OD ，故选 A. ∴ ，即 3. 【B】 解析：因为 v v v v v v v a� (2a  b )  2a 2  a � b  2 | a |2 (1)  2  1  3, 4. 【A】 解析： ，故选 A． 5. 【C】 解析：由已知 2a+b=(2,4)+(1,-1)=(3,3),a-b=(0,3). 设 2a+b 与 a-b 的夹角为 θ,  2a  b  �  a  b 则 cos θ= 2a  b � a b = 9 2 π = , ∵0≤θ≤π,∴θ= ,故选 C. 3 2 �3 2 4 6. 【D】 解析：如图所示，延长 CB 到点 D，使 BD＝1，连接 AD，则AB－BC＝AB＋CB ＝AB＋BD＝AD.在△ABD 中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求 AD＝，∴|AB－BC|＝. 7. 【A】 解析：因为 sin C  2 3 sin B  c  2 3b ，那么结合 a 2  b 2  3bc � a 2  6b 2 ， c2  b2  a 2 3 = 所以 cosA= 2cb 2 ，所以 A= 300 ，故答案为 A uuu v uuuv uuu r uuur AB �AD �cos A  4 ，∴ 8. 【A】 解析∵ AB  4, AD  2 , AB � AD  4 ，∴ cos A  1 2 ，A=60°， 以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 的垂线为 y 轴，建立如图所示的 坐标系， ∴A(0,0),B(4,0), D(1, 3) ， uuu v uuu v P x , 3 1 � x � 5 PA   x ,  3 , PB  4  x,  3 ，   设 ，∴       uuu v uuu v 2 PB  x  x  4   3  x 2  4 x  3   x  2   1 ， ∴ PA � 设 f  x    x  2   1 ，∴ f  x  在  1, 2  上单调递减,在  2,5 上单调递增， 2 结合二次函数的性质可知：函数的最小值为： f  5  8 f  2   1 ，函数的最大值为 ， uuu r uuu r PB 的取值范围是[−1,8]， 则 PA � 本题选择 A 选