§4.3.1 对数的概念 导学目标： 理解对数的概念及运算性质 （预习教材 P122~ P123，回答下列问题） 复习引入： 已知底数和幂的值，如何求指数呢？ 就是本节要学习的对数. 【知识点一】对数的概念　 一般地，如果 a  N （ a  0 且 a �1 ），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， x 记作 x  log a N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 注: (1)底数 a  0 且 a �1 ; (2)真数 N  0 ,即负数和 0 没有对数; (3)常用对数:以 10 为底的对数 log10 N ,记为 lg N . (4)自然对数:以无理数 e  2.71828L 为底的对数的对数 自我检测 1：若 4  16 ，则 x  x log e N ,记为 ln N . . 【知识点二】指数式与对数式的互化 .（2） lg 0.01  2 � 自我检测 2：（1） 5  625 � 4 （3） e 2.303  10 � . . 【知识点三】指对恒等式 (1) a (2) log a N  N （ a  0 且 a �1 ， N  0 ）. log a a N  N （ a  0 且 a �1 ， N  0 ）. log 3 log 2 8  3 自我检测 3： 1 8  . 【知识点四】对数的基本性质 (1)负数和零没有对数; (2) 1 的对数等于零,即 log a 1  0 ; (3)底数的对数等于 1 ,即 自我检测 4：已知 log 3 log a a  1 ; 2x 1 0 5 ，则 x  . 题型一　指数式与对数式的互化 【例 1】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式　 (1) 5  625 ；　　　　　(2) 4 2 6  1 64 ； m �1 � � �  5.73 3� (3) � ; lg 0.001   3 (5) ; log 1 16  4 (4) 2 ； (6) ln10  2.303 . 题型二 利用指数式求对数式的值　 【例 2】求下列对数的值． (1) (2) log 4 3 81 (4) log 2 3 2  3   . log9 27 ； 1 lg (3) 100 ； ；   题型三 利用对数的运算性质求值　 【例 3】求下列各式中的 x 的值． (1) (2) log 2  log 3 x   0 log 5  log 2 x   1 log (3)   3 1 ； ； 2 x 3 1 . 题型四 用恰当的方法求值 【例 4】求下列各式的值． （1） （3） log x 27  3 2； log 5 x 2  2 ； （5）若 （6） 9 1 lg 2 （2） 10 （4） x； log8 � log 7  log 2 x  � � � 0 log a 2  m ， log a 3  n ，则 a 3m  2n  1 log3 4 2  _______. ； . 1．对于下列说法： (1)零和负数没有对数； (2)任何一个指数式都可以化成对数式； (3)以 10 为底的对数叫做自然对数； (4)以 e 为底的对数叫做常用对数． 其中错误说法的个数为(　　) A．1　 　B．2 C．3 D．4 2 �1 � �� 9 3� 2．将 � 写成对数式，正确的是(　　) A． log 9 1  2 3 　 log 1 9  2 　B． log 1  2   9 C． 3．若 D． 3 log a 2 b  c A． a 2b c 3 log 9  2   则(　　) B． a C． b  2a c 2c D． c b 2a b 4．求下列各式中的 x 的值 （1） log 5 25 （3） ln e （2） log 0 . 4 1 （4） lg 0 . 001 1 3 5．求下列各式中的 x 的值 （1） log 1 x=−3 （2） 3 （3） lg 0 . 00001=x 1 log3 2 �1 � �� 3� （5） � log x 64  4 （4） ln √ e=− x x （6） 2ln e  lg1  3log3 2  log 2 16  x §4.3.1 对数的概念答案 导学目标： 理解对数的概念及运算性质 （预习教材 P122~ P123，回答下列问题） 复习引入： 已知底数和幂的值，如何求指数呢？ 就是本节要学习的对数. 【知识点一】对数的概念　 一般地，如果 a  N （ a  0 且 a �1 ），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， x 记作 x  log a N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 注: (1)底数 a  0 且 a �1 ; (2)真数 N  0 ,即负数和 0 没有对数; (3)常用对数:以 10 为底的对数 log10 N ,记为 lg N . (4)自然对数:以无理数 e  2.71828L 为底的对数的对数 自我检测 1：若 4  16 ，则 x  x log e N ,记为 ln N . . 【知识点二】指数式与对数式的互化 .（2） lg 0.01  2 � 自我检测 2：（1） 5  625 � 4 （3） e  10 � 2.303 . 【知识点三】指对恒等式 (1) a (2) log a N  N （ a  0 且 a �1 ， N  0 ）. log a a N  N （ a  0 且 a �1 ， N  0 ）. log 3 自我检测 3： log 2 8  3 1 8  . 【知识点四】对数的基本性质 (1)负数和零没有对数; (2) 1 的对数等于零,即 log a 1  0 ; (3)底数的对数等于 1 ,即 自我检测 4：已知 log 3 log a a  1 ; 2x 1 0 5 ，则 x  . 题型一　指数式与对数式的互化 【例 1】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式　 . (1) 5  625 ；　　　　　(2) 4 2 6  1 64 ； m �1 � � �  5.73 3� (3) � ; lg 0.001   3 (5) ; log 1 16  4 (4) (6) ln10  2.303 . log 5 625  4 ；(2) 【答案】(1) ； 2 log 2 1 log 1 5.73  m  6 64 3 ；(3) ； 4 �1 � � �  16 2 2.303  10 . (4) �2 � ； (5) 10  0.01 ； (6) e 题型二 利用指数式求对数式的值　 【例 2】求下列对数的值． (1) (3) log9 27 ； (2) log 4 3 81 1 100 ； (4) log 2 3 2  3   . lg 【答案】（1） x ；   3 2 ；（2） x  16 ；（3） x  2 ；（4） x  1 . 题型三 利用对数的运算性质求值　 【例 3】求下列各式中的 x 的值． (1) (2) log 2  log 3 x   0 log 5  log 2 x   1 log (3)   3 1 ； ； 2 x 3 1 . 【答案】（1） x  3 ；（2） x  32 ；（3） x  1 . 题型四 用恰当的方法求值 【例 4】求下列各式的值． （1） （3） log x 27  3 2； log 5 x 2  2 ； 1 lg 2 （2） 10 （4） x； log8 � log 7  log 2 x  � � � 0 ； （5）若 （6） 9 log a 2  m ， log a 3  n ，则 a 3m  2n  1 log3 4 2 .  _______. 8 5 ；（4） x  128 ；（5） 9 ； 【答案】（1） x  9 ；（2） x  20 ；（3） x  � （6） 4 . 1．对于下列说法： (1)零和负数没有对数； (2)任何一个指数式都可以化成对数式； (3)以 10 为底的对数叫做自然对数； (4)以 e 为底的对数叫做常用对数． 其中错误说法的个数为(　　) A．1　 　B．2 C．3 D．4 【答案】C 2 �1 � �� 9 3� 2．将 � 写成对数式，正确的是(　　) A． log 9 1  2 3 　 log 1 9  2 　B． log 1  2   9 C． D． 3 3 log 9  2   【答案】B 3．若 log a 2 b  c A． a 2b c 则(　　) B． a 2c b 1 3 C． b  2a c D． c 2a b 【答案】B 4．求下列各式中的 x 的值 （1） log 5 25 （2） log 0 . 4 1 （3） ln e （4） lg 0 . 001 【答案】（1） x  2 ；（2） x  0 ；（3） x  1 ；（4） x  3 ； 5．求下列各式中的 x 的值 （1） log 1 x=−3 （2） 3 （3） lg 0 . 00001=x 1 log3 2 �1 � �� 3� （5） � 【答案】（1） （4） ln √ e=− x x （6） x log x 64  4 2ln e  lg1  3log3 2  log 2 16  x 1 1 3 x 27 ；（2） x  4 ；（3） x  5 ；（4） 2 ；（5） 2 ；（6） 0