专题 15 计数原理与二项式定理 —2021 高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化 【高频考点及备考策略】本部分内容在备考时应把握以下几个方面： (1)准确把握两个计数原理的区别及应用条件． (2)明确解决排列、组合应用题应遵守的原则及常用方法． (3)牢记排列数公式和组合数公式． (4)掌握二项式定理及相关概念；掌握由通项公式求常数项、指定项系数的方法；会根据 赋值法求二项式特定系数和． 考向预测： (1)以实际生活为背景的排列、组合问题． (2)求二项展开式的指定项(系数)、二项展开式的各项的系数和问题． 必备知识 1、两个计数原理 分类加法计数原理 完成一件事的策略 有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的 分步乘法计数原理 方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 完成这件事共有的方法 N m  n 种不同的方法 N m n 种不同的方法 2 步有 n 种不同的方法 2、排列、组合的定义 (1)排列数公式： n! A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (n  m)! (这里，m，n∈N*，且 m≤n)． (2)组合数公式： n(n  1)( n  2) (n  m  1) n!  m! m!(n  m)! (这里，m，n∈N*，且 m≤n)； ①C＝ ②C＝1. （3）排列与组合的区别 排列 排列与顺序有关 两个排列相同,当且仅当这两个排列的元素及其排列 组合 组合与顺序无关 两个组合相同,当且仅当这两个组合的元素完全相同 顺序完全相同 3、二项式定理 ① 定理内容：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； ② 通项公式：Tk＋1＝Can－kbk. ③ 第 k+1 项的二项式系数是 Cnk 注：(a+b)n 的展开式的三个重要特征 (1)项数:项数为 n+1. (2)各项次数:各项的次数都等于二项式的幂指数 n,即 a 与 b 的指数和为 n. (3)顺序:字母 a 按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐项减 1 直到 0;字母 b 按升幂排列,从第一项开始,次数由 0 逐项增 1 直到 n. 【重要性质及结论】 1、应用两个计数原理的基本原则 (1)分类要做到“不重不漏”,正确把握分类标准. (2)分步要做到“步骤完整”,步步相连. 2、组合数的性质 ①C＝C； ②C＝C＋C； ③C＋C＋…＋C＝2n； ④C＋C＋…＋C＝C. 3、二项式系数的有关性质： n ① (a  b) 的展开式的各个二项式系数和等于 2 ,即 n Cn0  Cn1  Cn2    Cnn 2 n . ② 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C＋C＋C＋…＝C＋C ＋C＋…＝2n－1； ③ 若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中的各项系数和为 f(1)， f (1)  f ( 1) 2 奇数项系数和为 a0＋a2＋a4＋…＝ ， f (1)  f ( 1) 2 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝ . 【易错警示】 1．分类标准不明确，有重复或遗漏，平均分组与平均分配问题． 2．混淆排列问题与组合问题的差异． 3．混淆二项展开式中某项的系数与二项式系数． 4．在求展开式的各项系数之和时，忽略了赋值法的应用． 真题体验 一、选择题 y2 ( x  )( x  y )5 1、（2020 新课标Ⅰ卷·理科 T8） 的展开式中 x3y3 的系数为（ ） x A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 5 【解析】 ( x  y ) 展开式的通项公式为 Tr 1  C5 x r 5 r y r （ r �N 且 r �5 ） � y2 � x 所以 � x � 与 5 展开式的乘积可表示为： � � ( x  y) y2 y 2 r 5 r r r 4r r  2 xTr 1  xC5r x5 r y r  C5r x6 r y r 或 x Tr 1  x C5 x y  C5 x y 在 xTr 1  C5r x 6r y r xT  C5 x y x 3 y 3 的系数为 10 ， 中，令 r  3 ，可得： 4 ，该项中 3 3 3 y2 y2 Tr 1  C5r x 4 r y r  2 T  C51 x 3 y 3 在 x 中，令 r  1 ，可得： x 2 ，该项中 x 3 y 3 的系数为 5 所以 x3 y 3 的 系数为 10  5  15 故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属 于中档题. 2、（2020 山东省新高考全国Ⅰ卷·T3）6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆， 甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有（ A. 120 种 B. 90 种 C. 60 种 D. 30 种 ） 【答案】C 1 【解析】首先从 6 名同学中选 1 名去甲场馆，方法数有 C6 ； 然后从其余 5 名同学中选 2 名去乙场馆，方法数有 C52 ； 最后剩下的 3 名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有 C61 � C52  6 �10  60 种. 故选：C 【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 3、（2020 海南省新高考全国Ⅱ卷·T6）要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个 村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ A. 2 种 B. 3 种 ） C. 6 种 D. 8 种 【答案】C 【解析】第一步，将 3 名学生分成两个组，有 C3C2  3 种分法 1 第二步，将 2 组学生安排到 2 个村，有 所以，不同的安排方法共有 3 �2  6 A22  2 2 种安排方法 种 故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略. 4、（2020 北京卷·T3）在 A. 5 【答案】C ( x  2)5 B. 5 2 的展开式中， x 的系数为（ C. 10 ）． D. 10 【解析】   5 x  2 展开式的通项公式为： Tr 1  C r 5  x 5 r  2  r   2  C x r r 5 5 r 2 ， 5r 1 1 2 2 令 2 可得： r  1 ，则 x 的系数为：  2  C5   2  �5  10 . 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定 项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整 数，且 n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 5、（2019 年高考全国Ⅲ卷理数）（1+2x2 ）（1+x）4 的展开式中 x3 的系数为（ A．12 B．16 C．20 ） D．24 【答案】A 【解析】由题意得 x3 的系数为 C34  2C14  4  8  12 ，故选 A． 【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数． 2 ( x 2  )5 x 的展开式中 x4 的系数为( 6、(2018·全国卷Ⅲ，T5) A．10　　　 B．20　　　　 C．40　　　 D．80 2 5－ r 【解析】　展开式的通项公式为 Tr＋1＝C(x ) ) 2 ( )r x ＝2rCr5x10－3r，令 10－3r＝4 可得 r＝2，则 x4 的 系数为 22C＝40. 7、(2017·全国卷Ⅱ，T6)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则 不同的安排方式共有( ) A．12 种　　　 B．18 种　　　 C．24 种　　　 D．36 种 【解析】由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工作，可得安排方式为 C·C·A ＝36(种)，或列式为 C·C·C＝3××2＝36(种)． 故选 D． 8、(2016·全国卷Ⅱ，5)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年 公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A．24 B．18 C．12 D．9 【解析】　E→F 有 6 种走法，F→G 有 3 种走法，由分步乘法计数原理知，共 6×3＝18 种走法． 二、填空题 1、（2020 新课标Ⅱ卷·理科 T14）4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区， 每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】 36 【解析】Q 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名 同学 2  先取 2 名同学看作一组，选法有： C4  6 现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有： 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 故答案为： 36 A33  6 6 �6  36 种 . 【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分 析能力和计算能力，属于中档题. 2 6 2 2、（2020 新课标Ⅲ卷·理科 T14） ( x  ) 的展开式中常数项是__________（用数字作答）． x 【答案】 240 6 �2 2 � x  � 【解析】 � Q � x� 其二项式展开通项： Tr 1  C � x r 6  2 6 r r �2 � � �� �x �  C6r � x12 2 r (2) r � x r  C6r (2) r � x123r 当 12  3r  0 ，解得 r4 6 �2 2 � 4 2 �x  �的展开式中常数项是： C 4 � 16  15 �16  240 . 6 2  C6 � � x� 故答案为： 240 . 【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握  a  b  的展开 n