6.2.3 组合 6.2.4 组合数 （基础知识+基本题型） 知识点一 组合 m(m �n) n n m 一般地，从 个不同元素中取出 个元素合成一组，叫做从 个不同的元素中取出 个元素的 一个组合. 提示 （1）组合要求 n 个元素是不同的，被取出的 m 个元素也是不同的，即从 n 个不同元素中进行 m 次不 放回地抽取. （2）组合中取出的 m 个元素没有位置的要求，无序性是组合的本质. （3）根据组合的定义，如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组 合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合. 辨析 区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序，有顺序就是排列问题，而无顺序就是 组合问题，而要判断它是否有顺序的方法是将元素取出来，交换元素的顺序看对结果有无影响 .有影响就是 “有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题. 拓展 由于组合与顺序无关，故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换益，如 写出 ab 后，不必要交换位置为 ba ，因为它们是同一组合.画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路， 防止重复或遗漏. 知识点二 组合数与组合数公式 1．组合数的定义 m( m �n) n n m 从 个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素 的组合数，用符号 提示 Cnm 表示. m(m �n) n （1）组合数与组合的区别：组合是指“从 个不同元素中取出 个元素合成一组”，它不是一个 m(m �n) n 数，而是具体的一件事；组合数是指“从 个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数”，它 是一个自然数. （2）组合数定义中要求 m �n ，且 m �N* , n �N* . 2．组合数公式的推导 m(m �n) n 一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： m C m(m �n) n 第 1 步，求从 个不同元素中取出 个元素的组合数 n ； 第 2 步，求每一个组合中 m 个元素的全排列数 根据分步乘法计数原理，得到 因此 因为 Cnm  Amm . Anm  Cnm Amm Anm n � (n  1) � L � (n  m  1)  m Am m! ，这里 n, m �N* ，并且 m �n ，这个公式叫做组合数公式. A mn = n！ ( n−m ) ! ，所以组合数公式还可以表示为 Cnm  n! ( m �n) m! n  m  ! . 提示 （1）组合数公式的推导是依据分步乘法计数原理，遵循从特殊到一般的原则，将求从 n 个不同元素 中取出 m(m �n) 个元素的排列数分成先求其“组合数”后求每一个组合中的“全排列数”两步来完成的，这样就 清楚地揭示出了组合与排列的对应关系，从而利用这种对应关系和排列数公式得出了组合数公式. （2）组合数公式的推导方法是一种重要的钥匙方法.在以后学习排列、组合的综合问题时，一般都是 按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题. 3．组合数公式 m （1） Cn  n� (n  1) � L � (n  m  1) ( n , m  N * , m n) . m! （2） n! ( m, n  N * , m n ) m! n  m  ! . Cnm  0 C n=1 . （3）规定 提示 m （1） Cn  n� (n  1) � L � (n  m  1) 的分子是连续 个自然数 n, n  1, n  2,L n  m  1 的乘积，即由 开 m n m! 始递减的连续 m 个自然数的乘积，分母是 m 个 1 到 m 的连续自然数的乘积，该形式常用于计算求值. （2 ） Cnm  n� (n  1) � L � (n  m  1) n � ( n  1) � L � ( n  m  1) �( n  m) �L �2 �1 n!   m! m !�(n  m) �L �2 �1 m! n  m  ! ， 该形 式常用于化简与证明. 知识点三 组合数的两个性质 1． Cnm  Cnn  m (n  m) n m （1）该性质反映了组合数的对称性.其组合意义：从 个不同元素中每取出 个元素，就剩余 (n  m) n m n 个元素，因此从 个不同元素中取出 个元素的方法，与从这 个不同元素中取出 个元素的方法是 一一对应的，也就是说，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合都相应地对应着从这 n 个不同元素 中取出 ( n  m) n m n 个元素的每一个组合，反过来也一样.因此从 个不同元素中取出 个元素的组合数与这 个 不同元素中取出 (n  m) 个元素的组合数相等，即 Cnm  Cnn  m . n （2）计算 C m 时，若 m  2 ，则通常不直接计算 C m ，而改为计算 C n  m . n n n 2． Cnm1  Cnm  Cnm 1 . （1）该性质的组合意义：在确定从 (n  1) 个不同元素中取出 m 个元素的方法时，对于某一元素，只 (m  1) n 存在着取与不取两种可能.如果能取这一元素，那么需从剩下的 个元素中再取出 个元素，所以共有 Cnm 1 m C n m 种取法；如果不取这一元素，那么需从剩下的 个元素中取出 个元素，所以共有 n 种取法.由分类 加法计数原理，得 Cnm1  Cnm  Cnm1 . （2）公式特点：等号左边下标是 n  1 ，等号右边下标都是 n ，相差 1 ；等号左边上标与等号右边上标 中的一个一样，都是 m ，比另一个大 1 （另一个是 m  1 ）. 提示 利用组合数性质解题时要注意以下两点： （1）公式中的上标是自然数，下标是正整数，且上标不大于下标； （2）要善于观察题目的特征，灵活运用组合数的性质，使解题过程简便、流畅. 归纳 要注意公式 组合数 Cnm1 Cnm1  Cnm  Cnm1 的正用、逆用、变形用，尤其是当 拆开；逆用时则是“合二为一”，即将 Cnm  Cnm1  Cnm 1 Cnm  Cnm 1 化为 m, n Cnm1 都是具体数时的应用．正用时是将 ；变形用时则为 Cnm 1  Cnm1  Cnm 或 ．这样为某些项互相抵消提供了方便，在具体问题中要灵活运用． 知识点四、纯组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中 去选取． 如：现从 5 位男同学、4 位女同学中选出 5 名代表，若男甲、女 A 都必须当选，有多少种不同的选法? 由于男甲、女 A 必须当选，只需从剩下 7 人中任选 3 人即可满足题目的要求，故有 C73  35 种不同的选法． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可 以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 如（1）中，将问题改为至少有一名女同学当选，有多少种不同的选法?则在全部的选法中，排除全部 男生当选的情况即可，故有 （3）分堆问题 C95  C55  125 种不同的选法． 平分到指定位置 ① 平均分堆，其分法数为： 堆数的阶乘 ． 例如 将 6 本不同的书平均分成三份，每份两本，求不同的分法数． C62C42C22  15 依据上述公式，其分法为 （种）． 3! 分到指定位置 ② 分堆但不平均，其分法数为 相同数量的堆数阶乘之积． 例如，将 12 本不同的书分成五份，分别为 2 本、2 本、2 本、3 本、3 本，求不同的分法数． 依据上述公式，分到指定位置数为 C122 C102 C82C62C33 ． C122 C102 C82C62C33 其中两本的有三堆，故除以 3！；3 本的有两堆，要除以 2！，故分法数为 ． 3!� 2! （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元 素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． 例：5 人站成一排，如果甲必须站在乙的左边，则不同的排法有多少种？ 法一: 5 人不加限制的排列方法有 A55 种，“甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的，所以甲必 1 5 A5  60 须在乙的左边的排法有 2 （种）． 法二: 第一步，在 5 个位置中选 2 个位置给甲、乙二人有 第二步，剩下三个位置由剩下三人全排，有 A33 C52 种排法，共有 种选法； C52 � A33  60 法三: 从 5 个位置选 3 个位置由除甲、乙两人之外的三人排列有 A53  60 （种）； 种（剩下两个位置，甲、乙随 之确定）． （5）指标问题用“隔板法”： 如，将 10 个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？ 将 10 个名额并成一排，名额之间有 9 个空，用 5 块隔板插入 9 个空，就可将 10 个名额分为 6 部分， 每一种插法就对应一种分配法，故有 C95 种方案． 注意：隔板法与插空法是不同的，要予以“区分”．隔板法只适用于相同元素的分配问题． 知识点五、组合组合的综合应用 处理排列、组合综合题时，应遵循四大原则： （1） 先特殊后一般的原则 （2） 先取后排的原则 （3） 先分类后分步的原则 （4） 正难则反、等价转化原则． 类型一、 组合概念及组合数公式 例题 1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题． （1）8 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ （2）8 个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？ （3）从 1，2，3，…，9 这九个数字中任取 3 个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ （4）从 1，2，3，…，9 这九个数字中任取 3 个，组成一个集合，这样的集合有多少个？ 【解】（1）每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题． （2）每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的． （3）是排列问题，因为取出 3 个数字后，如果改变这 3 个数字的顺序，便会得到不同的三位数． （4）是组合问题，因为取出 3 个数字后，无论怎样改变这 3 个数字的顺序