6.2.1 排列 6.2.2 排列数 （基础知识+基本题型） 知识点一 排列 一般地，从 n 个不同元素中取出 m （ m �n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列． 拓展 对“排列”的理解 （1）两个内容：排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”． （2）元素不同：给出的 n 个不同元素互不相同，且抽取的 m 个元素是从 n 个元素中不重复的抽取， 因为则 m 个元素也是互不相同的．在研究排列问题时，是从一些不同元素中任取部分不同元素，这里既没 重复的元素，也没有重复抽取同一元素的情况． （3）顺序一定：“一定的顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排列，只有元素完全相同，并且元 素的排列顺序完全相同时，才是同一排列．元素完全相同，顺序不同及元素部分相同，顺序相同，都是不 同的排列． 知识点二 排列数与排列数公式 1．排列数的定义 从 n 个不同元素中取出 m （ m �n ）个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的排列数，用符号 Anm 表示． 辨析 排列是指“从 n 个不同元素中取出 m （ m �n ）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而 是具体的一件事．排列数是指“从 n 个不同元素中取出 m （ m �n ）个元素的所有不同排列的个数”，它是一 个自然数． 2．排列数公式 （1）排列数公式 1 及其推导过程 Anm  n  n  1  n  2  g...g n  m  1  n, m  N * , 且m n  一般情况下，求 Anm 假定有排好顺序的 的值可以按依次填 m m 个空位来考虑： a1 , a2 ,..., an n m 个空位，从 个元素 中任意取出 个去填空，一个空位填一个元素， 每一种填法就对应一个排位．因此，所有不同填法的种数就是排列数 Anm 填空可分为 m 个步骤： 第 1 步，从 n 个不同元素中任取一个占据第一个位置，共有 n 种不同的选法； 第 2 步，从剩下的 第 3 步，从剩下的  n  1  n  2 个不同元素中任取一个占据第二个位置，共有  n  1 个不同元素中任取一个占据第三个位置，共有  n  2 种不同的选法； 种不同的选法； …… n   m  1 � � � n   m  1 第 m 步，从剩下的 � 个不同元素中任取一个占据第 m 个位置．共有 种不同的选法． 根据分步乘法计数原理．得到公式 Anm  n (n  1)(n  2)L (n  m  1) ,其中 m, n �N * ,且 m≤ n ，这个公 式叫做排列数公式． 提示 ① 使用范围：上述公式在 m ≤ n 的情况下成立，当 m >n 时无意义． n   m  1 n ② 公式特点：从 开始，依次递减 1，且连乘 m 个，最后一个元素是 ，共 m 个连续的正整 数相乘． (2)全排列的定义及其公式 n个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n个元素的一个全排列． 这时公式中 m  n ,即有 Ann  n �( n  1) �( n  2)L �3 �2 �1 ． 提示 ⑴ n 个不同元素全部取出的排列数，等于正整数 1 到 n 的连乘积．正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的 阶乘，用 n! 表示，即 ⑵)规定 0!  1 ． Ann  n ! ． ⑶ 排列数公式的应用 Anm  n �(n  1) �(n  2) �L �(n  m  1)   n �(n  1) �(n  2) �L �(m  m  1) �(n  m) �L �2 �1 (n  m) �(n  m  1) �L �3 �2 �1 n! n!  n  m ! n     m  ! ( m, n �N * ,且 m ≤ n ) 提示 排列数公式的应用 ⑴ 排列数的第一个公式 Anm  n (n  1)(n  2)L (n  m  1) 适用于具体计算以及解当 m 较小时的含有排 列数的方程和不等式． ⑵ 排列数的第二个公式 Anm  n!  n  m  ! 适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等问题． 在具 体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“ m, n �N * ,且 m≤ n ”的运用． 知识点三 排列的应用 解排列应用题的基本思想： 提示 解简单的排列应用题必须先认真分析、理解题意，看能否把问题化归为排列问题，即是否有顺序 ．如 m  m  n n n 果是的话，再进一步分析，这里 个不同的元素指的是什么，以及从 个不同的元素中任取 个元 素的每一种排列对应的是什么事情，最后才能运用排列数公式求解． 类型一、 与排列数有关的运算 例题 1 解方程： A24x 1  140 Ax3 ． 2 x  1 �4 � � .根据排列数公式，原方程化为 【 解 】 根据原方程，x 应满足 x �3, x �N  解得 ， � x �3 x �N   2 x  1 �2 x �  2 x  1 �  2 x  2   140 x �  x  1 �  x  2 ． 因 为  2 x  1  2 x  1  35  x  2  ．即 4 x 去）．所以原方程的解为 x3 2 x �3 ， 两 边 同 除 以 4 x  x  1 ， 得  35 x  69  0 ，解得 x  3 或 x5 3 4 （因为 x 为整数，所以应舍 ． 2 x  1 �4, � 【点评】由排列数公式先转化为关于 x 的方程，再由隐含条件 � x �3, x �N  可解方程. � 例题 2 证明： Anm1  Anm  mAnm 1 【解】 证法一： Q Anm1  Anm   Anm1  Anm  mAnm 1 证法二： Anm1 Anm 1  n  1 !  n!  n! � n! m n! � n 1 �  1� �  m�  mAnm 1 � n  1  m ! n  m ! n  m ! n  1  m n  m ! n  1  m n  1  m !       �    �  . 表示从 n  1 个元素中取出 m 个元素的排列个数，其中不含元素 的可这样进行排列：先排 置上，有 ． a1 的有 Anm 个，含有 a1 ，有 m 种排法，再从另外 n 个元素中取出 m  1 个元素排在剩下的 m  1 个位 种排法，故含有  Anm1  Anm  mAnm1 a1 a1 的排法有 mAnm1 种. . 【点评】在证明题中往往含有参数，会给问题的解答造成困难，一定要熟练掌握排列数的基本运算公 式，尤其 Anm  n!  n  m  ! 要重点掌握. 例题 3 化简下列各式： 2!  3 � 3!  � � � n� n! （提示： （1） 1!  2 � n� n! = n  1 !  n! ）； 1 2 3 n 1   � � �  （2） 2! 3! 4! n! ． 【解析】显然，如果直接利用阶乘公式 n!  n  n  1  n  2  g� � � g2g1 来计算，由于 n 的动态性，且无法 提取公因式，因此难以计算．注意到这是 n 项的和，我们联想数列中的“拆项相消”的求和方法，能否用它 来 求 解 呢 ？ 再 观 察 到 这 里 的 阶 乘 之 外 还 有 一 个 n ， 而 n   n  1  1 ， 且 n� n!  � n!   n  1 � n!  n!   n  1 !  n!  n  1  1� � � ．于是便顺利地求其和． 【解】（1）原式 Q （2）    2!  1   3!  2!   4!  3!  � � � �  n  1 !  n!� � �  n  1 !  1 ； n 1 1 1   n!  n  1 ! n! ， 1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   � � �        � � �    1 2! 3! 4! n! 1! 2! 2! 3! 3! 4! n! .  n  1 ! n! 【点评】抓住阶乘  n! 的运算规律（连续的 n 个正整数的积）是在化简与阶乘有关的代数式时，找到 有效解题途径的前提.只要善于观察、分析所给代数式的结构特征，也就能迅速地找到解题的切入点、简捷 的解题方法. 类型二、 排列的定义及其理解 例 4．判断下列问题是否是排列问题，并说明理由. （1）从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动 A，另一名同学 参加活动 B； （2）从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； （3）从所有互质的三位数中选出两个数求其和； （4）从所有互质的三位数中选出两个数求其商； （5）高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． 【解】（1）是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排 到两个不同的活动中． （2）不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分． （3）不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求. （4）是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数 是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列. （5）是排列，可看作从四个空位中选出三十座位，分别安排给三个学生. 例题 5 A、B、C 三名同学照相留念，成“一”字形排队，写出所有排列. A 【解】按三个位置依次安排，如图 A B A C B A B C B—C A A A 在首位 A C—B B A—C B B 在首位 B C—A B C C A C B A—B C C C 在首位 C B—A 故所有排列为：ABC，ACB，BA