8.1 基本立体图形（第二课时）（同步训练） 1.下列几何体中是旋转体的是(　　) ① 圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． A．①和⑤ B．①和② C．③和④ D．①和④ 2.图①②中的图形折叠后的图形分别是(　　) A．圆锥、棱柱 C．球、棱锥 B．圆锥、棱锥 D．圆锥、圆柱 3.等腰三角形 ABC 绕底边上的中线 AD 所在的直线旋转所得的几何体是(　　) A．圆台　　　 B．圆锥　　　　 C．圆柱　 D．球 4.如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是(　　) A．一个棱柱中挖去一个棱柱 B．一个棱柱中挖去一个圆柱 C．一个圆柱中挖去一个棱锥 D．一个棱台中挖去一个圆柱 5.(多选)如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法正确的是(　　) A．该几何体是由 2 个同底的四棱锥组成的几何体 B．该几何体有 12 条棱、6 个顶点 C．该几何体有 8 个面，并且各面均为三角形 D．该几何体有 9 个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形 6.已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π，它们位于球心的同一侧，且距离为 1，那 么这个球的半径是(　　) A．4　　　　B．3　　　　 C．2　 D．0.5 7.(多选)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是(　　) A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的 B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成 的 C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的 D．由一个长方体与两个四棱台组合而成 的 8.我国古代名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两 周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长 2 丈 4 尺，圆周为 5 尺，葛藤从圆木的底部 开始向上生长，绕圆木两周，刚好与圆木顶部平齐，问葛藤最短长多少尺？ ”(注：1 丈等于 10 尺)则葛藤最短为(　　) A．29 尺　 B．24 尺 C．26 尺　 D．30 尺 9.下列说法正确的是________ ① 圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成； ② 在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ③ 圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交． 10.(2021 年武汉期末)如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________ 11.一个半径为 5 cm 的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为 4 cm，则截面圆面积 为________cm2. 12.用一张长为 8，宽为 4 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是________ 13.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面，则该圆锥的高为________ 14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的 圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体，则截面图形可能 是________(填序号)． 15.圆台的上底周长是下底周长的，轴截面面积等于 392，母线与底面的夹角为 45°，求此圆 台的高、母线长及两底面的半径． 16.已知一个圆锥的底面半径为 r，高为 h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方 体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长． 17.圆台的两底面面积分别为 1，49，平行于底面的截面面积的 2 倍等于两底面面积之和， 求圆台的高被截面分成的两部分的比． 18.如图所示，已知圆锥 SO 中，底面半径 r＝1，母线长 l＝4，M 为母线 SA 上的一个点， 且 SM＝x，从点 M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点 A.求： (1)绳子的最短长度的平方 f(x)；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f(x)的最大值． 参考答案： 1.D　 解析：根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体． 2.B　 解析：根据图①的底面为圆，侧面为扇形，得图①折叠后的图形是圆锥；根据图②的底面为三角形，侧 面均为三角形，得图②折叠后的图形是棱锥． 3.B　 解析：由题意可得 AD⊥BC，且 BD＝CD，所以形成的几何体是圆锥．故选 B. 4.B　 解析：一个六棱柱挖去一个等高的圆柱．故选 B. 5.ABC　 解析：该几何体用平面 ABCD 可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形 ABCD 是它的一个截面而不是一个面．故 D 说法不正确．故选 ABC. 6.B　 解析：如图所示，∵两个平行截面的面积分别为 5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为 r1＝，r2＝2.∵球心 到两个截面的距离 d1＝，d2＝，∴d1－d2＝－＝1，∴R2＝9，∴R＝3. 7.AB　 解析：如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合 而成．故选项 AB 正确． 8.C　 解析：由题意，圆木的侧面展开图是矩形，将圆木侧面展开两次，则一条直角边(即圆木的高)长为 24 尺，其邻边长为 5×2＝10(尺)，因此葛藤最短为＝26(尺)． 9.答案：③　 解析：①错，圆台是直角梯形绕其直角边所在直线或等腰梯形绕其底边中点的连线所在直线旋转形成 的；由母线的定义知②错；③正确． 10.答案：圆柱　 解析：一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱． 11.答案：9π　 解析：设截面圆半径为 r cm，则 r2＋42＝52，所以 r＝3，所以截面圆面积为 9π cm2. 12.答案：或　 解析：如图所示，设底面半径为 r，若矩形的长 8 恰好为卷成圆柱底面的周长，则 2πr＝8，所以 r＝； 同理，若矩形的宽 4 恰好为卷成圆柱的底面周长，则 2πr＝4，所以 r＝. 13.答案：　 解析：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则 4π＝πl2，所以母线长为 l＝2.所以半圆的弧长为 2π，圆锥 的底面的周长为 2πr＝2π，所以底面圆半径 r＝1.所以该圆锥的高为 h＝＝＝. 14.答案：①⑤　 解析：当垂直于圆柱底面的平面经过圆锥的顶点时，截面图形如图①；当垂直于圆柱底面的平面不经过 圆锥的顶点时，截面图形可能为图⑤. 15.解：设圆台上、下底面半径分别为 r，R，母线长为 l，高为 h. 由题意，得 2πr＝·2πR，即 R＝3r.① (2r＋2R)·h＝392，即(R＋r)h＝392.② 又母线与底面的夹角为 45°，则 h＝R－r＝l. ③ 联立①②③，得 R＝21，r＝7，h＝14，l＝14. 16.解：作出圆锥的一个纵截面如图所示，其中 AB，AC 为母线，BC 为底面直径，DG，EF 是正方体的 棱，DE，GF 是正方体的上、下底面的对角线．设正方体的棱长为 x，则 DG＝EF＝x，DE＝GF＝x.依 题意，得△ABC∽△ADE，∴＝，∴x＝，即此正方体的棱长为. 17.解：将圆台还原为圆锥，如图． O2，O1，O 分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心， V 是圆锥的 顶点． 令 VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，则所以即 h1∶h2＝2∶1. 故圆台的高被截面分成的两部分的比为 2∶1. 18.解：将圆锥的侧面沿 SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧 AA′的长度 L 就是圆 O 的周 长，∴L＝2πr＝2π.∴∠ASM＝360°·＝×360°＝90°. (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的 AM，其值为 AM＝(0≤x≤4)． f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)． (2)绳子最短时，在展开图中作 SR⊥AM，垂足为 R，则 SR 的长度为顶点 S 到绳子的最短距离． 在△SAM 中，∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR， ∴SR＝＝(0≤x≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4)． (3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，∴f(x)的最大值为 f(4)＝32.