7.3 复数的三角 表示 1、了解复数的三角表示式 2、掌握复数相等的充要条件 3、理解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 探索新知 一 、 复 数 的 三 角 表 示 → 记 所 其 向 量 的 以 模 ， |OZ| = |a+bi| =r, 由 a  bi =rcos θ =r 图 7.3-1 （ 可 以 得 到 式 ¿ ¿ ¿ b=r sin θ a=r cos θ ¿ ¿ ¿ ¿ ， cos θ +sin θ ） 中 r= √ a2+b2 ， ， a cos θ = r ， b sin θ = r . 这 样 ， 我 们 就 用 刻 画 向 量 大 小 的 模 r 和 刻 画 向 量 方 向 的 角 θ 表 示 复 数 z. （ 1 ） 一 般 地 ， 任 何 一 个 复 数 z=a+bi, 都 可 以 表 示 为 r= （ cos θ +icos θ ） 的 形 式 → OZ 其中，r 是复数 z 的模； θ 是以 x 轴的非负半轴为始，向量 所在射线（射线 OZ)为终边的角，叫 做复数 z=a+bi 的辐角．r(cos θ +isin θ )叫做复数 z=a+bi 的三角表示式，简称三角形式。为了与 三 角 形 式 区 分 开 来 ， a+bi 叫 做 复 数 的 代 数 表 示 式 ， 简 称 代 数 形 式 。 （2)规定：在 0≤ θ <2π 范围内的辐角 θ 的值为辐角的主值．通常记作 argz,即 0≤argz<2π. 3π π 3π 例如， arg1  0 , arg i  2 , arg(1) =π, arg(i ) = 2 二、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 根 据 复 数 的 乘 法 法 则 以 及 两 角 和 的 正 弦 、 余 弦 公 式 ， 可 以 得 到 ， z1 z 2 = r1 cos （ = r1 θ1 r2 +isin （ θ1 · ） 概念辨析 r2 [cos （ r1 r2 θ1 + θ2 ） cos （ cos θ 1 +isin θ 1 ） = = r1 r2 +isin θ2 ） cos θ 2 +isin θ 2 ） （ [(cos θ2 θ1 +isin cos-sin （ θ1 sin θ2 )] θ1 + θ2 ） 则 r1 (cos = r1 θ1 r2 +isin [cos( θ1 θ1 r2 )· θ2 + θ2 (cos )+isin( +isin θ1 + θ2 θ2 ) )] 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和 . 1 、 设 z1 所 数 除 法 运 算 的 三 角 = r 1 (cos θ 1 +isin θ 2 ), z 2 = r 2 (cos θ 2 ,+isin θ 2 ), 且 r2 θ1 复 r1 (cos θ 2 +isin θ 2 )· r 2 [cos( θ 1 - θ 2 )+isin( θ 1 - θ 2 )]= 表 示 z1 ≠ r1 (cos θ 1 +isin z2 . 因 为 ， ) 以 根 据 复 数 除 法 的 定 义 ， 有 ， r 1 (cosθ 1 +i sinθ 1 ) r 1 = r 2 (cosθ 2 +i sinθ 2 ) r 2 [cos( θ 1 - θ 2 )+isin( θ 1 - θ 2 ] 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数 的 辐 角 减 去 除 数 的 辐 角 所 得 的 差 . 思考 1 1.已知正六棱锥 S− ABCDEF 三角形，设随机变量 X 的底面边长为 2，高为 1．现从该棱锥的 7 个顶点中随机选取 3 个点构成 表示所得三角形的面积. P( X =❑√ 3) 的值； （1）求概率 （2）求 X C37 =35 种取法，其中 这类三角形共有 因此 6 ． 7 个顶点中随机选取 3 个点构成三角形， 【答案】 （1）解：从 共有 E( X) 的分布列，并求其数学期望 ΔABF X =❑√ 3 的三角形如 ， 个 P=(X = ❑√ 3)= 6 6 = 3 35 C7 X （2）解：由题意， . ❑ √ 3 ,2, ❑√6 ,2 ❑√ 3 , 3 ❑√ 3 的可能取值为 ΔABF 6 个； 其中 X =❑√ 3 的三角形如 其中 X =2 的三角形有两类，，如 其中 X =❑√ 6 的三角形如 其中 X =2 ❑√ 3 的三角形如 ΔCDF ，这类三角形共有 12 个； 其中 X =3 ❑√ 3 的三角形如 ΔBDF ，这类三角形共有 2 个； 因此 P=( X = ❑√ 3)= P=(X = ❑√ 6)= ，这类三角形共有 ΔPBD ΔPAD （ 3 个）， ，这类三角形共有 ΔPAB （ 6 个），共有 6 个； 6 9 , P=( X = 2)= 35 35 6 12 2 , P=(X = 2 ❑√ 3)= , P=( X =3 ❑√ 3)= 35 35 35 所以随机变量的概率分布列为： X ❑ √3 2 ❑ P( X ) 6 35 9 35 6 35 √6 2 ❑√ 3 12 35 3 ❑√3 2 35 所求数学期望 E( X)=❑√ 3 × 6 9 6 12 2 36 ❑ 3+6 ❑√ 6 +18 + 2× + ❑√ 6 × +2 ❑√ 3 × + 3 ❑√ 3 × = √ 35 35 35 35 35 35 . 【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 9 个； 【解析】（1）先求出共有 出概率 X =❑√ 3 的三角形共有 6 个，即可求 P( X =❑√3) 的值； （2）由题意写出 E( X) C37 =35 种取法， 再得到满足 X X 的可能取值，分别求出概率，即可得到 的分布列，并求其数学期望 . 思考 2 2.已知复数 z=（m2﹣8m+15）+（m2﹣9m+18）i 在复平面内表示的点为 A，实数 m 取什么值时： （1）z 为实数？ （2）z 为纯虚数？ （3）A 位于第三象限？ 【答案】 （1）解：∵z 为实数，∴m2﹣9m+18=0，解得 m=3 或 6． ∴当 m=3 或 6 时，z=0，3 为实数 m2−8 m+15=0 { （2）解：∵z 为纯虚数，∴ ，解得 m=5 m 2−9 m+ 18≠ 0 （3）解：∵z 在复平面内表示的点 A 在第三象限， ∴ 2 {m2−8 m+15<0 m −9m+18<0 解得 3＜m＜5． ∴当 3＜m＜5 时，A 位于第三象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】利用复数的几何意义、及复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出． 思考 3 3.已知复数 z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i，当实数 m 取什么值时，复数 z 是： （1）零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i；（4）表示复数 z 对应的点在第四象限． 【答案】 解：（1）由 { m ( m−1 ) =0 m2 +2 m−3=0 ) 可得 m=1；（2）由 { m ( m−1 )=0 m2 +2 m−3 ≠ 0 ) 可得 m=0；（3）由 { m ( m−1 ) =2 m2 +2 m−3=5 ) 可得 m=2；（4）由题意 { m ( m−1 ) >0 m2 +2 m−3< 0 ) ， 解得 即﹣3＜m＜0。 【考点】复数的基本概念 【解析】（1）实部与虚部同时为零，求解即可； （2）实部为 0，虚部不为 0，复数是纯虚数，求出 m 即可； （3）实部为 2，虚部为 5 求解即可得到 m 的值，使得 z=2+5i （4）表示复数 z 对应的点在第四象限．实部大于 0，虚部小于哦，求出 m 的范围即可。 思考 4 4.将甲、乙两颗骰子先后各抛一次， 影部分的三个顶点为 a 、 b 分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数.图中三角形阴 (0,0) 、 (4,0) ）和 (0,4) . （1）若点 Q(a , b) 落在如图阴影所表示的平面区域（包括边界）的事件记为 A，求事件 （2）若点 Q(a , b) 落在直线 x+ y=m （ m A 为常数）上，且使此事件的概率 p 最大，求 m 和 p 的值. 【答案】 （1）解：基本事件总数为 6 ×6=36 , 如图满足在阴影三角形内的有： 当 a=1 时， b=1 ，2，3； 当 a=2 时， b=1 ，2； 当 a=3 时， b=1 ﹒ 共有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）6 个点落在条件区域内， ∴ P( A)= 1 6 . 的概率； x+ y=m Q(a , b) 落在 （2）解：点 （ m 为常数）的直线上，且使此事件的概率最大. 只需基 本事件最多. 由 x , y ∈[1,6 ] ，将直线 m=7 即当 x+ y=m 平移，如图可知,当 x+ y=7 . 时，（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）基本事件最多，共 有6种 此时 P= 6 1 = 36 6 最大. 【考点】二元一次不等式的几何意义，古典概型及其概率计算公式 【解析】（1）由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件总数为 6×6，画出图形，满足条 件的事件 A 可以列举出有 6 个整点，根据古典概型概率公式得到结果．（2）点 Q(a , b) 落在 x+ y=m （ m 为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，只需基本事件最多，由 x , y ∈[1,6 ] ，画出图形，直线 x+ y=m 过 (1,6) 时适合，求得 x+ y=7 ，此时有 6 个整 点，得到结果． 1.已知复数 z 满足 i ź=−2+ i ，则在复平面内复数 A. 第一象限 B. 第二象限 z 表示的点位于（ ）． C. 第三象限 D. 第四象 限 2.已知复数 A. z=3+ 4 i ，