专题强化训练四：直线与平面所成的角、二面角的平面角的常见解法 技巧一、定义法 利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的 角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法. 例：在三棱锥 V－ABC 中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角 V－AB－C 的大小. 解　取 AB 的中点 D，连接 VD，CD，∵△VAB 中，VA＝VB＝AB＝2， ∴△VAB 为等边三角形，∴VD⊥AB 且 VD＝， 同理 CD⊥AB，CD＝， ∴∠VDC 为二面角 V－AB－C 的平面角， 而△VDC 是等边三角形，∠VDC＝60°， ∴二面角 V－AB－C 的大小为 60°. 技巧二、三垂线法 是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法 .这种方法关键是找垂直于二面角的 面的垂线.此方法是属于较常用的. 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 例：如图，在三棱锥 S－ABC 中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC. 角的正弦值. 解　取 SB 的中点 D，连接 AD，则 AD⊥SB，垂足为点 D， 由已知平面 SBC⊥平面 SAB，平面 SBC∩平面 SAB＝SB，AD⊂平面 SAB， ∴AD⊥平面 SBC. 作 AE⊥SC，垂足为点 E，连接 DE， 则 DE⊥SC， 则∠AED 为二面角 A－SC－B 的平面角. 设 SA＝AB＝2，则 SB＝BC＝2，AD＝，AC＝2，SC＝4. 由题意得 AE＝， Rt△ADE 中，sin∠AED＝＝＝， ∴二面角 A－SC－B 的平面角的正弦值为. 技巧三、垂面法 求二面角 A－SC－B 的平面 作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角 .关键在找与二 面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面. 例：如图，在三棱锥 S－ABC 中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分 SC 且分别交 AC，SC 于点 D，E，又 SA ＝AB，SB＝BC，求二面角 E－BD－C 的大小. 解　∵SB＝BC 且 E 是 SC 的中点， ∴BE 是等腰三角形 SBC 底边 SC 的中线，∴SC⊥BE. 又已知 SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面 BDE， ∴SC⊥平面 BDE，∴SC⊥BD. 又 SA⊥平面 ABC，BD⊂平面 ABC， ∴SA⊥BD，而 SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面 SAC， ∴BD⊥平面 SAC. ∵平面 SAC∩平面 BDE＝DE， 平面 SAC∩平面 BDC＝DC， ∴BD⊥DE，BD⊥DC， ∴∠EDC 是所求二面角的平面角. ∵SA⊥底面 ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC. 设 SA＝2，则 AB＝2，BC＝SB＝2. ∵AB⊥BC，∴AC＝2，∴∠ACS＝30°. 又已知 DE⊥SC，∴∠EDC＝60°. 即所求的二面角等于 60°. 强化训练 一、单选题 1．（2021·全国·高一）在边长为 1 的正方体 与平面 DCA1 所成角的大小为（ ABCD  A1 B1C1D1 中，点 M ， N 分别为 AB ， BC 的中点，则直线 MN ） A．  6 B．  4 C．  3 D．  2 2．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知正四面体 ABCD ，点 M 为棱 AB 上一个动点，点 N 为棱 CD 上靠近点 C 的三 等分点，记直线 MN 与 BC 所成角为  ，则 sin  的最小值为（ 38 A． 19 3 B． 19 2 C． 17 34 D． 17 3．（2021·山东威海·高一期末）在正方体 底面 ABCD 上一动点，且直线 D1 P // 平面 ABCD  A1 B1C1D1 EFG ，则 D1 P ） 中， 与平面 �3 2 � , � A． � �3 2 � �2 � ,1� B． � �2 � 1, 2 � C． � � � �2 6� , � D． � �2 3 � E ， F ABCD ， G 分别为 DD1 ， AA1 ， AB P 的中点， 为 所成角的正切值的取值范围为（ ） 4．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）在四棱锥 P  ABCD 中，AD＝2， AB  BC  CD  1 ， AD //BC ，且 PA  PC ， PB  PD ，则直线 PA 与平面 PBD 所成角的正弦值的最大值为（ A． 1 3 B． 4 5 C． 2 3 D． 1 ） 5．（2021·全国·高一）如图，在四面体 ABCD 中， AB  1 ， AD  2 3 ， BC  3 ， CD  2 ， �ABC  �DCB  90�， 则二面角 A  BC  D 的大小为（ A．30° B．60° ） C．120° D．150° 6．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在 VABC 中， AD  BC ,VABD 的面积是 △ ACD 的面积的 2 倍，沿 AD 将 VABC 翻折，使翻折后 BC  平面 ACD ，此时二面角 B  AD  C 的大小为（ A． 30� B． 45� C． 60� ） D． 90� 7．（2021·天津南开·高一期末）如图所示，等边三角形 ABC 的边长为 4， D 为 BC 的中点，沿 AD 把 VADC 折叠到 B  AD  C � A  BC � D VADC � 处，使二面角 为 60°，则折叠后二面角 的正切值为（ ）． 3 A． 2 B． 3 C．2 D． 5 8．（2020·浙江·高一期末）已知二面角   l   为 60 ， AB � ， AB  l ， A 为垂足， CD � ， C �l ， o �ACD  45o ，则异面直线 1 A． 4 AB 与 CD 所成角的余弦值为（ 2 B． 4 ） 3 C． 4 1 D． 2 二、多选题 9．（2021·河北·廊坊市第一中学高一阶段练习）如图，已知正方体 点，则下列说法正确的有（ A． B． ABCB  A1 B1C1 D1 的棱长为 1， E 是棱 CD 上的动 ） EB1  AD1 D1E // 平面 C．二面角 A1 B1 BA E  A1B1  A 的大小为 60o 1 D．三棱锥 A  B1D1 E 的体积的最大值为 3 10．（2021·全国·高一课时练习）如图，四棱锥 S  ABCD 底面为正方形， SD  底面 ABCD ，则下列结论中正确的 有（ ） A． AC  SB B． AB / / 平面 SCD C． SA 与平面 ABCD 所成的角是 �SAD D． AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SC 所成的角 11．（2021·浙江·台州市路桥区东方理想学校高一阶段练习）如图，三棱柱 与底面 A． ABC 所成的角为 60°， �AA1B1 为锐角，且侧面 �ABB1  60� C．直线 AC1 与平面 B． ABB1 A1 所成的角为 45° D． ABB1 A1  底面 ABC ABC  A1B1C1 的各棱长均为 2，侧棱 ，下列四个结论正确的是（ BB1 ） AC  BB1 B1C  AC1 12．（2021·湖北孝感·高一期末）如图，在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB=AA1=1，P 为线段 B1C1 上的动点，则下列 结论中正确的是（ ） 2 A．点 A 到平面 A1BC 的距离为 2 B．平面 A1PC 与底面 ABC 的交线平行于 A1P C．三棱锥 P﹣A1BC 的体积为定值 D．二面角 A1-BC-A 的大小为  4 三、解答题 13．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一期末）如图，在三棱锥 P－ABC 中， PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC， PA  AB  BC  2 ，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点. (1)求证：平面 BDE⊥平面 PAC； (2)求二面角 P－BC－A 的平面角的大小. 14．（2022·湖南·高一课时练习）如图，AB 是 e O 的直径，点 C 为该圆上的一点， �AOC  120�， SA  e O 所在的 平面， SA  AB ，求 SC 与 e O 所在的平面所成的角的正切值． 15．（2021·浙江温州·高一竞赛）如图，已知三棱锥 P  ABC ，底面 VABC 是等腰三角形， �ABC  120�， △ PAB 是等边三角形， D 为线段 AC 上一点， AC  3AD ，二面角 P  AB  D 的大小为120�. (1)求证： AB  PD ； (2)求直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值. 16．（2021·湖北·大冶市第一中学高一阶段练习）在三棱锥 P-ABC 中，∠ACB=90°，PA⊥底面 ABC. （1）求证：平面 PAC⊥平面 PBC;（2）若 AC=BC=PA，M 是 PB 的中点. ① 求 AM 与平面 PBC 所成角的正切值；②求二面角 C  PB  A 的大小. 17．（2021·全国·高一课时练习）如图在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面 PAD  底面 ABCD ，且 PA  PD  2 a 2 ，设 E , F 分别为 PC , BD 的中点． （1）求证： EF / / 平面 PAD ； （2）求证：平面 PAB  平面 PDC ； （3）求直线 EF 与平面 ABCD 所成角的大小． 18．（2021·广东白云·高一期末）如图， PA 垂直于 e O 所在的平面， AC 为 e O 的直径， AB  3 ， BC  4 ， PA  3 2 ， AE  PB ，点 F 为线段 BC 上一动点. （1）证明：平面 AEF  平面 PBC ； （2）当点 F 移动到 C 点时，求 PB 与平面 AEF 所成角的正弦值. 19．（2021·广东·肇庆市高要区第二中学高一）如图，三棱锥 P﹣ABC 中，P