成都石室中学高 2023 届 2021~2022 学年度上期期中考试 数学（理科）试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的． 1．命题“ x0 �R A． x �R C． x0 �R ， ， x03  x02  1  0 ”的否定是（ ） x3  x 2  1 �0 B． x03  x0 2  1 �0 D．不存在 ， x �R r r r r r a  1 b  2 a  a  b ，则向量 ar ， br 的夹角为（ 2．若 ， ，且  A．45°  B．60° 3．抛物线 x  4y ， x3  x 2  1  0 x0 �R ， x03  x02  1 �0 ） C．120° D．135° 1 C． 2 1 D． 8 2 的焦点到准线的距离为（ A．8 ） B．2     4． A  x x  1 �1, x �R ， B  x log 2 x  1, x �R ，则“ x �B ”是“ x �A ”的（ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 ） D．既不充分也不必要条 件 5．已知命题 p： x  0 ， A． �p 是假命题 x 4 1 4 2 x0   x � 0,  �   ，命题 q： 0 ， x 2 ，则下列判断正确的是（ B．q 是真命题 C． p � �q  是真命题 D． ）  �p  �q 是真命题 � � f  x   2 sin   x    �x �R,   0,   � 6．函数 2 �的部分图象如图所示，则  ，  的值分别是（ � ）  A．2， 3  B．2， 6   C．4， 6  �x  1 �0 � x  y �0 7．若实数 x，y 满足约束条件 � ，则 1 的最小值是（ z  x y � 2 x  3 y  1 � 0 � 2 3 B． 2 1 C． 2  A．－2 8．以双曲线  D．4， 3  ） 1 D． 10  �5 7 9 � x2 y2 � C 的焦点为椭圆 的长轴顶点，且过点  1 �4 ,4� �的椭圆 C 的方程为（ � � 9 16 x2 y 2  1 A． 25 16 x2 y 2  1 B． 25 9 x2 y 2  1 C． 16 9 ） x2 y 2  1 D． 9 25 9．已如 A，B，C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且 AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥 O－ABC 的体 积为（ ） 2 3 A． 12 B． 12 2 3 C． 4 D． 4  5,3 的最短弦长为等差数列  an  的首项 a1 ，最长弦长为其末项 an ，若等 10．以过圆 x  y  10 x 内一点 2 2 1 1� � d �� , � 差数列  an  的公差 3 2 �，则项数 n 的取值不可能是（ � A．4 B．5 C．6 ） D．7 11．如图，在△ABC 中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC、BC 边上的高分别为 BD、AE，则以 A、B 为焦点、且过 D、E 的椭圆与双曲线的离心率的乘积为（ A．1 B． ） 3 1 12 ． 点 P 是 直 线 l ： x ＝ － 2 上 一 动 点 ， 点 C．2 F  2, 0  D． 3 1 ， 点 Q 为 PF 的 中 点 ， 点 M 满 足 MQ⊥PF ， uuur uuur 2 MP   OF   �R  ，过点 M 作圆  x  5   y 2  1 的切线，切点为 S，当 MS 取得最小值时，则直线 MF 的方程为（ ） A． y  � x  2  B． y  � 2  x  2 C． y  � 3  x  2 D． y  �2 2  x  2  二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． b  13．在△4BC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，且 a sin A � sin B  b cos A  2a ，则 a ______． 2 x2 y 2   1(a  0, b  0) 14．若直线 y＝2x 与双曲线 a 2 b 2 没有公共点，则离心率 e 的取值范围是______． 15．已知斜率为 k 的直线 l 过抛物线 的准线上一点 16．已知圆 M  1, 1 C : y 2  2 px  p  0  的焦点，且与抛物线 C 交于 A，B 两点，抛物线 C uuur uuur MB  0 ，则 AB  ______． 满足 MA � M : ( x  cos  ) 2  ( y  sin  ) 2  1 ，直线 l：y＝kx，下面四个命题： ① 对任意实数 k 和  ，直线 l 和圆 M 相切； ② 对任意实数 k 和  ，直线 l 和圆 M 有公共点； ③ 对任意实数  ，必存在实数 k，使得直线 l 和圆 M 相切； ④ 对任意实数 k，必存在实数  ，使得直线 l 和圆 M 相切； 其中真命题的代号是______（写出所有真命题的代号）． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 ． （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 已 知 命 题 p ： 实 数 m 满 足 m 2  5am  4a 2  0 ， 其 中 a>0 ； 命 题 q ： 方 程 x2 y2  1 表示双曲线． m3 m5 （Ⅰ）若 a＝1，且 p �q 为真，求实数 m 的取值范围； （Ⅱ）若 �p 是 �q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． an b  n a na  2 n  1 a   n ，设 18．（本小题满分 12 分）已知数列  n  满足 a1  1 ， n 1 n ． （Ⅰ）判断数列  bn  是否为等比数列，并说明理由； （Ⅱ）求数列  an  的前 n 项和 Sn ． uuu r uuur AB � AC  S ． 19．（本小题满分 12 分）已知△ABC 的面积为 S，且 （Ⅰ）求 tan 2 A 的值； （Ⅱ）若 B  4 ， AB  3 ，求△ABC 的面积 S． 20．（本小题满分 12 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD  A1 B1C1D1 中，E 为棱 BC 的中点，F 为棱 CD 的中点． （Ⅰ）求证： D1 F ∥ （Ⅱ）求二面角 平面 A1EC1 A  A1C1  E ； 的正弦值． �1 � 1 ,0 � x   相切，设该动圆 21．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，一动圆经过点 � 且与直线 2 � � 2 圆心的轨迹为曲线 E． （Ⅰ）求曲线 E 的方程； （Ⅱ）设 P 是曲线 E 上的动点，点 B、C 在 y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为 ( x  1) 2  y 2  1 ，求△PBC 面 积的最小值． B  1, 0  22．（本小题满分 12 分）如图，设圆 x  y  2 x  15  0 的圆心为 A，直线 l 过点 且与 x 轴不重合， 2 2 l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E． （Ⅰ）求点 E 的轨迹方程； （Ⅱ）设点 E 的轨迹为曲线 C1 ，直线 l 交 1 1  （i）证明： MB NB 为定值； （ii）求四边形 MPNQ 面积的取值范围． C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点．