第二章平面向量及其应用单元检测卷（B 卷带解析） 一、单选题 r r a  (1, 2) b  (1, t ) t 1．已知 与 共线，则 （ A．2 ） C． 1 B．1 D． 2 2．在 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， B  30�， b sin A  1 ，则 a  （ ） 1 A． 2 B．1 3．已知向量 r a  (3,1) A． 2 ， r b  (1,3) B． 1 C．2 ，且 r r r r ( a  b )  (a  b ) D．4  ，则 的值为（ ） D．2 uuu r uuur uuur uuu r ABCD AB  8 AD  5 CP  3PD AP � BP  2 4．如图，在平行四边形 中，已知 ， ， ， ， uuu r uuur AD 的值是（ 则 AB � C．1 ） A．18 B． 22 C． 18 D． 22 5．圣索菲亚大教堂位于土耳其伊斯坦布尔，有近一千五百年的历史，因巨大的圆顶而 闻名于世，使世界各地的游客前往参观.现有一游客想估算它的高度 CD，借助于旁边 高约为 24 米的一幢建筑房屋 AB 作为参考点，在大教堂与建筑房屋的底部水平线上选 取了点 P（如图所示），从点 P 处测得 C 点的仰角为 60°，测得 A 点的仰角为 45°，从 A 处测得 C 处的仰角为 30°，则该游客估算圣索菲亚大教堂的高度约为（ 3 �1.73 ） ）（ A．48 米 B．53 米 C．57 米 D．60 米 r r r r r a� b b a  2,1 b  x ,3     6．已知向量 ， ，若 ，则 x 的值为（ A． 2 B． 4 或 0 7．在 VABC 中， �B  120 ， o （ AB  2 ） C． 2 或 0 D．0 AC  ， �A 的角平分线 AD 的长为 3 ，则 ） A． 2 B． 3 6 C． D． 2 3 r r r r r r r r r a  b �b  c a  b  1 8．已知平面向量 a , b , c 均为单位向量，且 ，则 的最大值为  （ A．   ） 1 4 B． 1 2 C． 1 D． 3 2 二、多选题 9．已知两点 A  2, 1 A． r a   1, 2  C． r a   1, 2  、 B  3,1 r uuu r a AB ，与 平行，且方向相反的向量 可能是（ B． r a   9,3 D． r a   4, 8  10．在 VABC 中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c， 则下列说法正确的有（ ） ） a bc a  sinA  sinB  sinC sinA A．A:B:C= a :b :c B． C．若 A>B， 则 a>b D． A  B  C  π 11．四边形 ABCD 为边长为 1 的正方形，M 为边 CD 的中点，则（ ） uuuur uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuuu r AD  MC  MA DM  CB  AM AM � BC  1 AB  2MD A． B． C． D． 12．已知圆 O 的半径为 1 米，A 为圆 O 上一定点，动点 M，N 均以每秒 1 米的速度同 时从 A 出发，M 沿着 OA 方向向右运动，N 沿着圆周按逆时针运动，当 N 运动回到 A 时， M 停止运动，连接 AON MN , ON ，记运动时间为 t 秒，三角形 （阴影部分）的面积为 S2 ，则（ OMN 的面积为 S1 ，扇形 ） A．当 t  1 时， �ONM 为钝角 B．当 t   时，M，N 之间距离最大 �� t �� 0, � , � 2 �MN 与圆 O 相切 C． � � t �� ,  � , S1  S2 �2 � D． 三、填空题 r r r uuu r r uuur r uuur r a b c 13．已知正方形 ABCD 的边长为 2， AB  a , BC  b , AC  c ，则 ＝_____． 14．在 VABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， a  6 ， b  10 ， c  14 ，则 C  ______. A B 15．在 VABC 中，边 BC 上的中线与边 AC uuu r uuu r uuur CE   AB   AC E 上的中线的交点为 ，若 ， 则 2    ______． r a 16．已知平面向量 r d 面向量 在 x2  y2  z 2 r r a ,b r b ， ， r r r c (c �0) 满足 方向上的投影分别为 r | a | 1 x, y ， ， r | b | 2 r r d a ， r r a� b 0 ， r r r (a  b ) � c 0 ..记平 r c 在 方向上的投影为 z ，则 的最小值为______. 四、解答题 17．在△ ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ，已知 a  1 ， b  2 ， cos C  (1)求 c 的值； 1 . 4 (2)求△ ABC 的面积. 18．已知点 A（﹣2，4），B（3，﹣1），C（m，﹣4），其中 m∈R． uuu r uuur AB BC （1）当 m＝﹣3 时，求向量 与 夹角的余弦值； （2）若 A，B，C 三点构成以 A 为直角顶点的直角三角形，求 m 的值． 19． VABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，已知 C  π , b  8, c  a  2 ． 3 (1)求边 a ， c ； (2)若点 D 在线段 BC 上（与 B, C 不重合），且 AD  c ，求 sin �CAD ． 20．在三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， a  2b ，且 � � 2c sin B  a cos � C � � 6 �. (1)求角 C； uuur uuur uuu r uuur AE  2 (2)E 为三角形 ABC 所在平面内的一点， AE  AB  AC ，且 ，求线段 CE 的长. 21．（2021·云南·丽江第一高级中学高二期中（文））已知向量 r r �� a   cos x,sin x  , b  3, 3 , x �� 0, � 2� �.  (1)若 (2)记 r r a / /b  x ，求 的值； r r f  x   a gb 求 f ( x) 的取值范围. 22．1.在△ABC 中，角 A，B，C 对边分别为 a，b，c， (a  b)(sin A  sin B)  (c  b)sin C (1)求角 A 的大小； (2)求 . ． a2 6 ， 在①△ABC 面积的最大值；②△ABC 周长的最大值；③△ABC 的内切圆的半径最大值. 中 任选一个做为问题（2），并给出问题的解答．参考答案： 1．D 【解析】 【分析】 根据向量共线的性质直接计算即可. 【详解】 由 则 r a  (1, 2) 与 r b  (1, t ) 1�t  2 � 1  0 共线， ， 解得 t  2 ， 故选：D. 2．C 【解析】 【分析】 a b 直接运用正弦定理可得 sin A  sin B ，解得 a  2 【详解】 由正弦定理，得 b sin A 1 a b  2  ，所以 a  sin A sin B sin B sin 30� 故选：C 3．C 【解析】 【分析】 r r r r a  b , a  b  求出 的坐标后可求 的值. 【详解】 r r r r a  b   4, 4  , a  b   3   ,1  3  由 r r r r ( a  b )  (a  b ) 故选：C 可得 ， 4  3     4  1  3   0 ，解得   1 ， 4．B 【解析】 【分析】 根据基底 uuur uuur AB, AD 表示 uuu v uuu v AP, BP, uuu r uuu r BP  2 ，即得结果. 再根据向量数量积化简 AP � 【详解】 uuu v uuu v uuuv uuuv uuuv uuu v uuuv 1 uuu v uuuv 3 uuu v AP � BP  ( AD  DP) � ( BC  CP )  ( AD  AB ) � ( AD  AB) 4 4 uuuv2 3 uuu v2 1 uuu v uuuv v uuuv v uuuv uuu v uuuv 3 1 uuu 1 uuu AD  13  AB � AD  2  AB � AD  22.  AD  AB  AB � AD  25  �64  AB � 16 2 2 16 2 故选 B 5．C 【解析】 【分析】 由题意推导得 �PAC  75�， �CPA  75�，从而得 CA  CP ，设 CE  h ，则 CA  CP  2h ， 在 Rt△ CDP 中列关于 h 的等式求解. 【详解】 过点 A 作 CD 的垂线交 CD 于点 E，则 DE  AB  24 ， 由题得 �APB  45�，所以 �PAE  45�，又依题得 �CAE  30� ，所以 �PAC  75�， 又由题可知 �CPD  60�，所以 �CPA  75�，从而 CA  CP ， 设 CE  h ，则 CA  CP  2h ，所以在 Rt△ CDP 中， sin 60� CD ， CP 3 h  24  即 2 2h ，解得 h  12 3  12 �32.76 ，从而 CD �24  32.76 �57 米. 故选：C. 6．D 【解析】 【分析】 根据给定条件结合向量数量积、向量的模的坐标表示计算作答.