绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时 ， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： ·如果事件 ·如果事件 A A 、 、 B B ·圆柱的体积公式 互斥，那么 P( A U B)  P( A)  P( B) 相互独立，那么 V  Sh ，其中 S P ( AB )  P ( A) P ( B ) ． ． h 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高． 1 V  Sh ·棱锥的体积公式 3 ，其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 A． A  {1,1, 2,3,5}, B  {2,3, 4}, C  { x  R |1 x 3}  2 B．  2, 3 C．  1, 2,3 ，则 ( A I C) U B  D．  1, 2,3, 4 �x  y  2 �0, �x  y  2 �0, � 2．设变量 满足约束条件 � 则目标函数 的最大值为 �x �1, � x, y z  4 x  y �y �1, A．2 3．设 x �R B．3 x  5x  0 2 ，则“ A．充分而不必要条件 C．充要条件 ”是“ C．5 | x  1| 1 D．6 ”的 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 A．5 B．8 S 的值为 C．24 D．29 x 2 5．已知抛物线 y 2  4 x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 a 2 别交于点 A． y  1 (a  0, b  0) 的两条渐近线分 b2 A 和点 B ，且 | AB | 4 | OF | （ O 为原点），则双曲线的离心率为 A． 2 6．已知  2 a  log 5 2 acb 3 B． ， b  log 0.5 0.2 B． C． 2 ， c  0.5 abc 0.2 ，则 a, b, c C． 5 D． 的大小关系为 bca D． cab y  f  x 7．已知函数 f ( x)  A sin( x   )( A  0,   0,|  | ) 是奇函数，将 的图象上所有点的横坐 标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g  x ．若 g  x � � �3 � g � � 2 f � � ，则 �4 � �8 � A． 2 B．  2 C． 2 D． 2 的最小正周期为 2π ，且 �x 2  2ax  2a, x �1, f ( x )  � 8．已知 ，设函数 x  1. 若关于 x 的不等式 f ( x) �0 在 R 上恒成立，则 a �x  a ln x, a �R 的取值范围为 A．  0,1 B．  0, 2 C．  0,e  D．  1, e  绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共 12 小题，共 110 分。 二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 5i 9． i 是虚数单位，则 1  i 的值为_____________． 8 1 � � 2 x  3 �的展开式中的常数项为_____________． 10． � � 8x � 11．已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5 ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四 条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________． 12．设 �x  2  2 cos  , � a �R ，直线 ax  y  2  0 和圆 �y  1  2sin  （  为参数）相切，则 a 的值为_____________． ( x  1)(2 y  1) 的最小值为_____________． xy y  0, x  2 y  5 ，则 13．设 x  0, AD ∥ BC , 14．在四边形 ABCD 中， 且 AE  BE ，则 AB  2 3, AD  5, �A  30�，点 E 在线段 CB 的延长线上， uuur uuur BD � AE  _____________． 三．解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 在 △ ABC （Ⅰ）求 中，内角 cos B A, B, C 的值； 所对的边分别为 a , b, c ．已知 b  c  2a ， 3c sin B  4a sin C ． � � sin � 2B  � （Ⅱ）求 6 �的值． � 16．（本小题满分 13 分） 2 设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 3 ．假定甲、乙两位同学到校情况互不 影响，且任一同学每天到校情况相互独立． （Ⅰ）用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期 望； （Ⅱ）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校 的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率． 17．（本小题满分 13 分） 如图， AE  平面 ABCD ， CF ∥∥ AE , AD BC ， AD  AB, AB  AD  1, AE  BC  2 ． （Ⅰ）求证： BF ∥ 平面 ADE ； （Ⅱ）求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值； 1 （Ⅲ）若二面角 E  BD  F 的余弦值为 3 ，求线段 CF 的长． 18．（本小题满分 13 分） x2 y2 5   1( a  b  0) 的左焦点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 设椭圆 a 2 b2 5 ． F B （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB x 与 轴的交点，点 N 在 y 轴的 | ON || OF | 负半轴上．若 （ O 为原点），且 OP  MN ，求直线 PB 的斜率． 19．（本小题满分 14 分） 设  an  是等差数列，  bn  是等比数列．已知 a1  4, b1  6 ，b2  2a2  2, b3  2a3  4 ． （Ⅰ）求  an  和  bn  的通项公式； � 1, 2k  n  2k 1 , c  1, c  � n （Ⅱ）设数列  c  满足 1 其中 ． bk , n  2k , n k �N* �    （i）求数列 a2n c2n  1 的通项公式； 2n （ii）求 �a c  n �N  ． i 1 * i i 20．（本小题满分 14 分） 设函数 f ( x)  e cos x, x （Ⅰ）求 f  x g ( x) 为 f  x  的导函数． 的单调区间；  � � � � x �� , � f ( x)  g ( x) �  x ��0 （Ⅱ）当 时，证明 �2 � ； �4 2 �  � � 2n  , 2n  � � （ Ⅲ ） 设 xn 为 函 数 u ( x )  f ( x )  1 在 区 间 � 4 2 �内 的 零 点 ， 其 中 n �N ， 证 明 2 n   e 2 n  xn  2 sin x0  cos x0 ． 绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）参考解答 一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 40 分． 1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 30 分． 9． 13 三．解答题 10． 28 π 11． 4 3 12． 4 13． 4 3 14． 1 15．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦 定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力，满分 13 分． b c  （Ⅰ）解：在 △ ABC 中，由正弦定理 sin B sin C ，得 b sin C  c sin B ，又由 3c sin B  4a sin C ， 得 3b sin C  4a sin C ，即 3b  4a ．又因为 b  c  2a ，得到 a 2  c 2  b2 cos B   2ac b 4 2 a c a 3 ， 3 ．由余弦定理可得 4 16 a2  a2  a2 1 9 9  2 4． 2 �� a a 3 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 cos 2 B  cos 2 B  sin 2 B   sin B  1  cos 2 B  15 15 sin 2 B  2sin B cos B   ， 从 而 4 8 ， 7 8 ，故 �   15 3 7 1 3 57 � sin � 2 B  � sin 2 B cos  cos 2 B sin   �  �  6� 6 6 8 2 8 2 16 ． � 16．本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基 础