数列二轮专题复习 2：求数列通项公式必备的方法和技巧 （附答案解析） 一、Sn 法：已知 Sn 与 an（或 Sn 与 n）的关 系式 {a n } 1.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(　　) A.an＝2n－3 C.an＝ B.an＝2n＋3 D.an＝ 1 2 Sn  an  3 3 ，则  an  的通项公式 an  （ 2.【2017 山东淄博模拟】已知数列  an  的前 n 项和 ） 1 an  (  ) n 1 2 1 − ¿n 2 A. an=¿ B. 1 n −1 ¿ C. 2 an =¿ 1 − ¿n +1 2 D. a n=¿ 二、累加法：an+1 = an +f(n)   解法：先把递推公式转化为： an  1  an  f n ，再利用累加法求解。 当 n≥2 时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1 注意：此时求出的a的关系式不能直接作为通项，要检验是否满足a？ n 1 3.若数列{an}满足：a1＝1，a n＋1＝an＋2n，则数列{an}通项公式是____________ 4.已知数列 5. {an } 满足 an 1  an  2n  1，a1  1 已知数列 ，求数列 {an } 的通项公式。 1 1 {a n } 满足 a1= 2 ， an +1=a n+ 2 n +n ，求 an 三、累乘法：an+1 = f(n)·an an 1  f (n), 解法：先把递推公式转化为： an 再用累乘法求解。当 n≥2 时，an＝×××…×××a1 注意：此时求出的a的关系式不能直接作为通项，要检验是否满足a？ n 1 6.在数列 7.已知 Sn {a n } 中， a1  1,  n  1 an1  nan ,求 为数列 an 的表达式。 2 {a n } 的前 n 项和， a1 1 ， S n n an ，则数列 {a n } 的通项公式为________ n 8.已知 a1=1, a n+1=2 an ,求 an 四、构造法：（构造等差或等比数列求通项公 式） （一） an 1  pan  q （q 为常数）型数列 解法:① 当 p=1 时，an＋ 1－an＝q，则数列{an}是等差数列。 ② 当 p≠1 时，设 an＋ 1+λ=p（an+λ），比较系数可求出 λ.用待定系数法转化为公比为 p 的等比数列后，再求 9.已知数列 an {a n } 的首项 a1=2 , an +1=2 an +1 ( n ∈ N ❑ , n≥ 2 ) ,求 an . 10.已知数列 {a n } 中， a1=1 ， an +1=2 an +3 ，求 an 11．已知数列{an}中， a1=1 ，an＋1＝an－2，则数列{an}的通项公式为________________ _ n （二） an+1 = pa n + q 型数列 n+1 解法：两边同除以q，得 an+1 p an 1 =设b则b  , qn+1 qqn q b  n an , qn n+1  p q n  1 , q 1 p ① 当 q =1 时，bn＋ 1－bn＝ q ，则数列{bn}是等差数列。 p p ② 当 q ≠1 时，设 bn＋ 1+λ= q （bn+λ），比较系数可求出 λ. 12.在数列 n 1 {a n } 中， a1  1, an1  4an  2 , 求数列 {a n } 的通项公式。 13.已知数列 {a n } 1 n +1 ¿ 5 2 中， a1= 6 , ，求 an 。 1 an +1= a n+ ¿ 3 （三） an =an +1+ λan ⋅ an+ 1 型数列 �1 � 1 1 =，则数列是以为首项，以为公差的等差数列。    � � an 1 a n a1 �an 1 解法：两边同除以，得 an � a n 1 1 a1  2 ， an 1  an  2an an 1 ，求数列 {an } 的通项公式。 14.已知数列 {an } 满足： 15.已知数列 {a n } 满足， a1=3 , an=a n+1 +5 an ⋅a n+1 ,n ∈ N ∗ ,求 an . b� an （四）a型数列 n1  c� an  d c� an  d c d 1 1 1 解法：左右两边取倒数得：=，令=  b则b =  bg , an1 b� an b b an an , n1 n d b n  c b c d ① 当 b =1 时，bn+1－bn＝ b ，{bn}是等差数列。 d d ② 当 b ≠1 时，设 bn+1 +λ= b （bn+λ），比较系数求出 λ 16.已知数列a满足a { n} 1 an1  1, a求数列a的通项公式 , { n  2an1  3 } n . 实战演练： 17.数列 0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是 an 等于(　　) A. B．cos C．cosπ 18.已知数列 D．cosπ 2 的前 n 项和 S n=n −1 ，其中 n=1, 2 ,3 ，…，那么通项公式 an =¿ （ {a n } ） A. an =¿ B. an =2 n− 1 { 0 ( n=1 )| C. an =2 n+ 1 19.已知数列 D. an =¿ {a n } 20.(1)已知数列 中， {a n } (2)已知 S n 为数列 a1 1, a n 1 2a n  3n 中， {a n } { 1 ( n=1 )| ，求数列 {a n } 的通项公式. a1 2, a n a n  1  2n  1( n 2) ，求数列 { a n } 的通项公式； 2 的前 n 项和， a1 1 ， S n n a n ，求数列 {a n } 的通项公式. 21.已知数列  a n  前 n 项和 S n 4  a n  1 2 n 2 . (1)求 an +1 与 an 的关系； (2)求通项公式 an . 数列二轮专题复习 2：求数列通项公式必备的方法和技巧 （解析版） 一、Sn 法：已知 Sn 与 an（或 Sn 与 n）的关系 式 {a n } 1.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为( C ) A.an＝2n－3 B.an＝2n＋3 C.an＝ D.an＝ 【解析】当 n＝1 时，a1＝S1＝1，当 n≥2 时，an＝Sn－ Sn－1＝2n－3，由于 n＝1 时 a1 的值不适合 n≥2 的解析式 1 2 2.已知数列  an  的前 n 项和 Sn  an  ，则  an  的通项公式 an  （ B ） 3 3 1 n − ¿ 2 A． an=¿ 【解析】令 n 所以 an   1 an  ( ) n 1 2 B． 1 n −1 ¿ C． 2 an =¿ 1 n +1 − ¿ 2 D． a n=¿ 1 2 1 2 S S  a  S  a   1 ，得 1 3 1 3 ， a1  1 ，当 n �2 时， n 1 3 n 1 3 ，所以 n 1 1  S n1  an  an 1  an 3 3 1 1 1 an 1 ，所以数列 a 是以 1 为首项，  为公比的等比数列，所以 an  ( ) n 1   n 2 2 2 二、累加法：an+1 = an +f(n) 解法：先把递推公式转化为： a n  1  an  f  n  ，再利用累加法求解。 当 n≥2 时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1 注意：此时求出的a的关系式不能直接作为通项，要检验是否满足a？ n 1 3.若数列{an}满足：a1＝1，a n＋1＝an＋2n，则数列{an}通项公式是______【答案】an＝2n－1 ∵a n+1 − an =2n ， ∴ 当n ≥ 2时， an −a n −1=2n − 1 当n ≥ 2 时， an=(an − an −1)+(a n− 1 − an −2 )+(an −2 −a n− 3)+⋅+( a3 − a2 )+(a 2 − a1)+ a1 n 1(1 −2 ) n ¿ 2n −1 +2n −2 +2n −3 +⋯+22 +21 +1= =2 −1 1− 2 解析： ∵ a1＝1 满足上式， ∴an＝2n－1(n∈N+) 4.已知数列 解：由 {an } 满足 an 1  an  2n  1，a1  1 an 1  an  2n  1 得 an 1  an  2n  1 ，求数列 {an } 的通项公式。 则 an  (an  an 1 )  (an 1  an  2 )  L  (a 3  a2 )  (a2  a1 )  a1 当时， n �2  [2(n  1)  1]  [2(n  2)  1]  L  (2 �2  1)  (2 �1  1)  1  2[(n  1)  (n  2)  L  2  1]  (n  1)  1  2 ∵ a1＝1 满足上式，∴数列 5.已知数列 an  n 2 1 1 ，求 an n +n 2 1 1 1 1    ， n  n n( n  1) n n  1 2 an  ( an  an 1 )  (an 1  an  2 )  ( an  2  an  3 )  � � �  (a3  a2 )  (a2  a1 )  a1 当时， n �2 ¿( ∵ 的通项公式为： 满足 a1= 2 ， an +1=a n+ {a n } 解：Q an  1  an  {an } (n  1)n  (n  1)  1  (n  1)(n  1)  1  n 2 2 a1= 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 − )+( −