6.4.3.1 余弦定理（同步检测） 1.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a＝，b＝3，c＝2，则 A＝(　　) A．30°　　　　B．45° C．60° D．90° 2.在△ABC 中，cos C＝－，BC＝1，AC＝5，则 AB＝(　　) A．4 C. B． D．2 3.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若>0，则△ABC A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 (　　) 4.在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝(2＋)bc，则角 A 等于 A．30° B．60° C．120° D．150° (　　) 5.(多选)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝2，c＝2，cos A＝，且 b<c，则(　　) A．b＝2 B．b＝2 C．B＝60° D．B＝30° 6.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2， 则△ABC 的周长为(　　) A．7.5 B．7 C．6 D．5 7.在锐角△ABC 中，b＝1，c＝2，则 a 的取值范围是 A．1<a<3 C.<a< (　　) B．1<a<5 D．不确定 8. 2020 年新型冠状病毒肺炎蔓延全国，作为主要战场的武汉，仅用了十余天就建成了“小汤 山”模式的火神山医院和雷神山医院，再次体现了中国速度．随着疫情发展，某地也需要 参照“小汤山”模式建设临时医院，其占地是一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长 为 400 m 的等腰三角形组成的图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角 为(　　) A. B． C. D. 9.已知 a，b，c 为△ABC 的三边，B＝120°，则 a2＋c2＋ac－b2＝________ 10.边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是________ 11.在△ABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 的对边，且 b2＝ac，则 B 的取值范围是_______ 12.(1)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，sin C＝，a＝2，b＝2，求 c； (2)在△ABC 中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状． 13.在△ABC 中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－. (1)求 b，c 的值；(2)求 sin(B＋C)的值． 14.如图所示，在△ABC 中，sin＝，AB＝2，点 D 在线段 AC 上，且 AD＝2DC，BD＝，求 cos∠ACB 的值． 15.已知△ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c. (1)求证：acos B＋bcos A＝c； (2)在①＝，② ccos A＝2bcos A－acos C，③ 2a－＝，这三个条件中任选一个补充在下面问 题中，并解答，若 a＝7，b＝5，______，求△ABC 的周长． 参考答案： 1.C 解析：∵a＝，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cos A＝ ＝＝ ， 又由 A∈(0°，180°)，得 A＝60°，故选 C. 2.A 解析：在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32， ∴AB＝＝4. 3.C 解析：由>0 得－cos C>0，所以 cos C<0，从而 C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形． 4.A 解析：∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝(2＋)bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝ ＝ ， ∴A＝30°. 5.AD 解析：由 a2＝b2＋c2－2bccos A，得 4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒(b－2)(b－4)＝0， 由 b<c，得 b＝2.又 a＝2，cos A＝，所以 B＝A＝30°，故选 A、D. 6.D 解析：∵bcos A＋acos B＝c2，∴由余弦定理可得 b·＋a·＝c2，整理可得 2c2＝2c3， 解得 c＝1，则△ABC 的周长为 a＋b＋c＝2＋2＋1＝5. 7.C 解析：若 a 为最大边，则 b2＋c2－a2>0，即 a2<5， ∴a<；若 c 为最大边，则 a2＋b2>c2，即 a2>3，∴a>，故<a<.故选 C. 8. D 解析：设顶角为 α，由三角形的面积公式可得 4 个等腰三角形的面积和为 4××400×400sin α，由余弦定 理可得正方形边长为＝400，故正方形面积为 160 000(2－2cos α)＝320 000(1－cos α)，所以所求占地面积 为 320 000(1－cos α＋sin α)＝320 000，故当 α－＝，即 α＝时，占地面积最大，此时底角为＝. 9.答案：0 解析：∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0. 10.答案：120° 解析：设中间角为 θ，则 θ 为锐角，cos θ＝＝，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求． 11.答案： 解析：cos B＝＝＝＋≥.∵0<B<π，∴B∈. 12.解：(1)∵sin C＝，且 0<C<π，∴C＝或. 当 C＝时，cos C＝，此时 c2＝a2＋b2－2abcos C＝4， ∴c＝2.当 C＝时，cos C＝－，此时 c2＝a2＋b2－2abcos C＝28，∴c＝2.综上所述，c 的值为 2 或 2. (2)由余弦定理知 cos A＝， cos B＝，cos C＝，代入已知条件，得 a·＋b·＋c·＝0，通分得 a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0， 展开整理得(a2－b2)2＝c4. ∴a2－b2＝±c2，即 a2＝b2＋c2 或 b2＝a2＋c2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 13.解：(1)由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，得 b2＝32＋c2－2×3×c×.因为 b＝c＋2， 所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，解得 c＝5，所以 b＝7. (2)因为 cos A＝＝，所以 sin A＝＝. 在△ABC 中，B＋C＝π－A，所以 sin(B＋C)＝sin A＝. 14.解：因为 sin＝，所以 cos∠ABC＝1－2sin2＝1－2×2＝1－2×＝. 在△ABC 中，设 BC＝a，AC＝3b，由余弦定理可得 9b2＝a2＋4－a.① 在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得 cos∠ADB＝，cos∠BDC＝. 因为 cos∠ADB＝－cos∠BDC，所以 ＝－ ，所以 3b2－a2＝－6.② 由①②可得 a＝3，b＝1，则 BC＝3，AC＝3，所以 cos∠ACB＝ ＝＝. 15.(1)证明：根据余弦定理：acos B＋bcos A＝a·＋b·＝＝c， 所以 acos B＋bcos A＝c. (2)解：选①：因为＝，所以 2c·cos A＝bcos A＋acos B， 所以由(1)中所证结论可知，2ccos A＝c，即 cos A＝， 因为 A∈(0，π)，所以 A＝； 选②：因为 ccos A＝2bcos A－acos C，所以 2bcos A＝acos C＋ccos A， 由(1)中的证明过程同理可得，acos C＋ccos A＝b，所以 2bcos A＝b，即 cos A＝， 因为 A∈(0，π)，所以 A＝； 选③：因为 2a－b·＝c·，所以 2acos A＝bcos C＋ccos B， 由(1)中的证明过程同理可得，bcos C＋ccos B＝a，所以 2acos A＝a，即 cos A＝， 因为 A∈(0，π)，所以 A＝. 选①或选②或选③中的任一条件，都可得 A＝. 在△ABC 中，由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋c2－10c·＝49，即 c2－5c－24＝0， 解得 c＝8 或 c＝－3(舍去)，所以 a＋b＋c＝7＋5＋8＝20，即△ABC 的周长为 20.