6.1 平面向量的概念 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； 2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念； 3.并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 1．(1)向量：既有 ，又有 (2)数量：只有 ，没有 的量叫做向量． 的量称为数量． 2．向量的几何表示 的线段叫做有向线段．它包含三个要素： (1) (2)向量可以用 、 表示．向量AB的大小，也就是向量 AB的 、 ． (或称 )，记作 ．向量也 可以用字母 a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如AB，CD. 3.向量的有关概念 零向量 单位向量 平行向量 (共线向量) 相等向量 一、探索新知 长度为 的向量，记作 长度等于 个单位的向量 方向 的非零向量 向量 a、b 平行，记作 规定： 长度 与任一向量平行 且方向 的向量 向量 a 与 b 相等，记作 （一）向量的实际背景与概念 1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？ 2.（1）向量与数量的定义： 既有 ，又有 的量叫做向量(物理学中称为矢量); 只有 ，没有 的量叫做数量(物理学中称为标量). 注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双 重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小. 练习 1：下列量不是向量的是（ ） （1）质量 （2） 速度 （3） 位移 （4）力 （5）加速度 （6）面积 （7）年龄 （8） 身高 （二）向量的几何表示 探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量 呢？ 1.有向线段的定义 在线段 AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设 A 为起点，B 为终点，就说线段 AB 具有方向， 具有 的线段叫做有向线段. 如图，以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作 线段 AB 的长度也叫做有向线段 ⃗ AB ⃗ AB 的长度，记作 . |⃗ AB| . 思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？ 2. 向量的几何表示 a A( 起点 ) B （终点） 画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示 向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. 3. 向量的表示方法： 一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如 ⃗ AB、 ⃗ CD 。 若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母 a，b，c，…（书写时用注 意用 ⃗a , ⃗b ,⃗c ⋯ 表示）. 注意：（1）.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置. 数学中的向量也叫自由 向量. （2）.有向线段与向量的区别： 有向线段：三要素：起点、大小、方向。 向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。 4.向量的模 向量 ⃗ AB 的大小，就是向量 ⃗ AB 的长度（或模），记作 或记作 。 思考：向量的模可以为 0 吗？可以为 1 吗？可以为负数吗？ 5.零向量：长度为 0 的向量，记作 ⃗0 . 单位向量：长度等于 1 个单位的向量. 说明：（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向 . 故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定. （2）注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的. 例 1.在图中，分别用向量表示 A 地至 B、C 两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出 A 地至 B、C 两地的实际距离（精确到 1km） （三）.相等向量与共线向量 思考 1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量 ⃗a , ⃗b ，就其模等与不等，方向同与不同而言， 有哪几种可能情形？ 1.平行向量定义：[来源:学科网 ZXXK] ① 方向 或 的非零向量叫平行向量；②我们规定 0 与任一向量 . 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ 、ｂ 、ｃ 平行，记作 ａ ∥ｂ ∥ ｃ. 2.相等向量定义： 长度 且方向 的向量叫相等向量. 说 明：（1）向量ａ 与ｂ 相等，记作ａ ＝ｂ ；（2 ）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的 非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 3.共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无 关）. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可 以相互 平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 练习 2; 填空： （1）平行向量是否一定方 向相同？（ ） （2）不相等的向量是否一定不平行？（ ） （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（ ） （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（ ） （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（ （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（ （7）共线向量一定在同一直线上吗？（ ） ） 例 2.如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心， （1）写出图中的共线向量； （2）分别写出图中与向量 OA 、 OB 、 OC 相等的向量. 1．下列说法中正确的个数是(　　) ） ① 身高是一个向量； ②∠AOB 的两条边都是向量； ③ 温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ④ 物理学中的加速度是向量． A．0 B．1 C．2 D．3 2．设 e1，e2 是两个单位向量，则下列结论中正确的是(　　) A．e1＝e2 B．e1∥e2 C．|e1|＝|e2| D．以上都不对 3.（多选题）在下列判断中，正确的是(　　) A.长度为 0 的向量都是零向量； B.零向量的方向都是相同的； C.单位向量的长度都相等； D.单位向量都是同方向； E.任意向量与零向量都共线． 4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④ 相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向 量．正确的命题是________． 5.如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABDE 是矩形，找出与向量AB相等的向量． 这节课你的收获是什么？ 参考答案： （一）1.不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。 2.练习：（1）（6） （7） （8） （二）1.思考：三个要素：起点、方向、长度. 4.可以为 0,1，不能为负数。 例 1. （三）思考：模相等，方向相同； 模相等，方向不相同； 模不相等，方向相同； 模不相等，方向不相同； 牛刀小试：（1）不一定 （2）不一定 (3 零向量 （4）零向量（5）平行向量（6）长度相等且方向相同 （7）不一定 例 2， 达标检测 1.【解析】　只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确． 【答案】　B 2.【解析】　单位向量的模都等于 1 个单位，故 C 正确． 【答案】　C 3.【解析】　由定义知 A 正确，B 由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确 定，故不正确．显然 C、E 正确，D 不正确，故选 ACE． 【答案】　A、C、E 4.【解析】　由向量的相关概念可知④⑥正确． 【答案】　④⑥ 5.【解】　由四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABDE 是矩形，知DC，ED与AB的长度相等且方 向相同，所以与向量AB相等的向量为DC和ED.