2022 高补第一学期第 7 次数学轮测 时间：120 分钟 满分：150 分 一．选择题：每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.     1.已知全集 U  R ，设集合 A  x x  x  6 �0 ， B  x x  1  0 ，则图中阴影部分表示的集合是（ 2 ）      B. x 3 �x  1 A. x x �3   C. x 2 �x  1  D. x 1 �x �3 z 1  （ 2.已知复数 满足 ，则 2( z  z )  3( z  z )  4  6i i z A．1 B．2 ） D． 5 C． 2 3.已知数列  an  为等比数列，则“ a1  0 ， q  1 ”是“  an  为递减数列”的（ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ） 4.已知圆锥的表面积为 3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　） A． B． 3π 3 3 C． 3 π 3 D． 3 x2  y 2  1 的左、右焦点，点 是其一条渐近线上一点，且以线段 5. 已知 F ， F 分别是双曲线 ： C 1 2 3 P F1 F2 为直径的圆经过点 P ，则点 P 的横坐标为（ ） B. � 2 A. �  C. � 3 6．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结 合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象 来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体 育品牌的 LOGO 为 ，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数 中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ A． f  x   sin5 x 2 x  2 x cos 5 x B． f  x   2 x  2 x ） D. � 2 C． f  x   cos x 2  2x x sin5 x D． f  x   2 x  2  x 7. 一个盒中装有大小相同的 1 个黑球与 2 个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回 盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有 1 次取到黑球的概率为（ ） A. 2 9 B. 2 3 8.已知 a  0 ，函数 f ( x ) 2e （ ） A．[ 2 1 ， ） e2 e ax C. 5 18 D. 2 27  x ，若函数 F ( x )  f ( f ( x ))  x 恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是 1 B．（0， ） e 1 C．（0， ] e D．[ 2 1 ， ] e2 e 二．多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求, 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分． 9.我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复 产，下面是某地连续 11 天复工复产指数折线图，下列说法 正确的是（ ） A.这 11 天复工指数和复产指数均逐日增加； B.这 11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量； C.第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%； D.第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量． 10. 已知向量 a (  2,1), b (1, t ) ，则下列说法正确的是（ r r A. 若 a Pb ，则 t 的值为 2 r r r r r r a B.  b 的最小值为 1 C. 若 a  b  a  b ，则 的值为 2 t ） D. 若 r 与 r 的夹角为钝角，则 的取值范围是 a b t 11. 已知函数 f  x   2sin   x       0,     的部分图象如图所示，则（ A. 2 B.   t2 且 t � ）  3 � 5  �   , C. f x 在区间 � 上单调递增 D. 若 x1  x2  ，则 f x  f x    1  2  � 12 12 � � 3 12. 已知直三棱柱 ABC  A1 B1C1 中， AB  BC ， AB  BC  BB1 ， O 为 A1C 的中点.点 P 满足 uuu r uuuu r BP   BC1 ，其中  � 0,1 ，则（ ） 1 2 A. 对  � 0,1 时，都有 A P  OB 1 1 B. 当   1 时，直线 A P 与 所成的角是 30° 1 3 AB C. 当   1 5 时，直线 A P 与平面 A B C 所成的角的正切值 1 1 1 1 2 5 D. 当   1  时，直线 A P 与 OB1 相交于一点 Q ，则 QA1 2 1 2 PQ 1 三．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分． n 1 � � 13．已知二项式 � x  �的展开式中所有项的二项式系数之和为 ，则该展开式中的常数项是______ x� � 64 _．(用数字作答) 14．当 x y 0 ， z  1 ，满足 1 2   1 时，有 x  y  2 z �t 2  2t  1 恒成立，则实数 t 的取值 x  y z 1 范围为____________． 15. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 1 ℃，空气的温度是  0 ℃，则 t min 后物体的温度  kt  （单位：°C）可由公式    0   1   0  e 求得，其中 k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正 常数，现有 52°C 的物体，放在 12°C 的空气中冷却，2min 以后物体的温度是 32°C，则再经过 6min 该物体的温度可冷却到___________. 16．已知空间四边形 ABCD 中， AB  BD  AD  2 ， BC  1 ， CD  3 ，若二面角 A  BD  C 的大小是 120�，则该几何体的外接球表面积为________。 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 3 cos  A  C   cos B  ， 17. (10 分) 锐角 的内角 的对边分别为 ， A , B , C a , b , c ABC 2 1 1 2 3   tan A tan C 3 . （1）求 �B ； （2）若 ac  4 ，求 ABC 的面积. 18. (12 分) 已知等差数列 （1）求数列 （2）设数列 求 S100 {an } {an } ， {bn } {an } 和等比数列 {bn } 满足 a1  2, b2  4 ， an  2 log 2 bn ， n �N ． {cn } {cn }  的通项公式； 中不在数列 {bn } 中的项按从小到大的顺序构成数列 ，记数列 的前 n 项和为 Sn ， . 19. (12 分) 为了了解某市高三学生的身体情况，某健康研究协会对该市高三学生组织了两次体测，其中 第一次体测的成绩（满分：100 分）的频率分布直方图如下图所示，第二次体测的成绩 X ~ N (65, 2.52 ) ． （1）试通过计算比较两次体测成绩平均分的高低； （2）若该市有高三学生 20000 人，记体测成绩在 70 分以上的同学的身体素质为优秀，假设这 20000 人都参与了第二次体测，试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数； （3）以频率估计概率，若在参与第一次体测的学生中随机抽取 4 人，记这 4 人成绩在 [60,80)   的人数为 ，求 的分布列及数学期 望． 附： P (     X �   )  0.6826 ， P (   2  X �  2 )  0.9544 P(   3  X �  3 )  0.9974 ， . o 20.（12 分）如图，在四棱锥 M  ABCD 中， AB //CD ， �ADC  �BMC  90 ， MB  MC ， AD  DC  1 2 AB  2 ，平面 BCM  平面 ABCD ． （1）求证： AC  平面 BCM ； （2）在棱 AM 若存在，求出 上是否存在一点 E ，使得平面 EBC 与平面 BCM 的夹角为 π ？ 4 AE 的值；若不存在，请说明理由． EM C: 21. (12 分) 已知椭圆 x2 y 2 3  2  1( a  b  0) 长轴的两个端点分别为 2 ，离心率为 A (  2, 0), B (2, 0) 2 . a b （1）求椭圆 C 的方程； （2） 椭圆 P C 为椭圆 于点 Q C 上异于 的动点，直线 AP, PB . （ⅰ）求证：直线 （ⅱ）判断 A, B M , B, Q AP, AQ 的斜率之积为定值； 三点是否共线，并说明理由. 分别交直线 x  6 于 M,N 两点，连接 NA 并延长交 1 x 2 22.（12 分）已知函数 f  x   xe  a  x  2 x  2   a �R  ． 2 1 （1）当 a �e 时，讨论函数 f  x  的极值； 1 （2）若存在 x0 � 0,  � ，使得 f  x0   ln x0  2 x0  2  2a  ax0  ，求实数 a 的取值范围． 2022 高补第一学期第 7 次数学轮测 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D A C C B C B CD BCD AD ACD 三、填空题：13．20 14．  2, 4 15．14.5℃  16. 52 9  1 ， 1.由题意得： A   x | 2 �x �3 ， B  x x 