第四讲 平面向量的数量积 一、向量数量积的物理背景与定义 学习目标 　 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直． 知识点一　向量的夹角 思考 1　平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的 夹角一样吗？ 答案　 存在夹角，不一样． 思考 2　△ABC 为正三角形，设AB＝a，BC＝b，则向量 a 与 b 的夹角是多少？ 答案　如图，延长 AB 至点 D，使 AB＝BD， 则BD＝a， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°， 故向量 a 与 b 的夹角为 120°. 梳理　两个向量夹角的定义 (1)已知两个非零向量 a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作〈a，b〉，并 规定它的范围是 0≤〈a，b〉≤π. 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉． (2)当〈a，b〉＝时，我们说向量 a 和向量 b 互相垂直，记作 a⊥b. 知识点二　向量在轴上的正射影 思考　向量在轴上的正射影是向量还是数量？其在轴上的坐标的符号取决于谁？ 答案　向量 b 在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其符号取决于夹角 θ 的范围：当 θ 为锐 角时，该数量为正值；当 θ 为钝角时，该数量为负值；当 θ 为直角时，该数量为 0；当 θ＝0°时，该数量为| b|；当 θ＝180°时，该数量为－|b|. 梳理　向量在轴上的正射影 已知向量 a 和轴 l(如图)． 作OA＝a，过点 O，A 分别作轴 l 的垂线，垂足分别为 O1，A1，则向量O1A1叫做向量 a 在轴 l 上的正射影 (简称射影)，该射影在轴 l 上的坐标，称作 a 在轴 l 上的数量或在轴 l 的方向上的数量.OA＝a 在轴 l 上正射 影的坐标记作 al，向量 a 的方向与轴 l 的正向所成的角为 θ，则由三角函数中的余弦定义有 al＝|a|cos θ. 知识点三　向量的数量积(内积) 思考 1　如图，一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，且力 F 与位移 s 的夹角为 θ，那么力 F 所做的功 W 是 多少？ 答案　W＝|F||s|cos θ. 思考 2　对于两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos〈a，b〉叫做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，那么 a·b 的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？ 答案　a·b 的运算结果是数量． 0·a＝0. 梳理　向量数量积的定义 |a||b|cos〈a，b〉叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 知识点四　向量数量积的性质 思考 1　设 a 与 b 都是非零向量，若 a⊥b，则 a·b 等于多少？反之成立吗？ 答案　a⊥b⇔a·b＝0. 思考 2　当 a 与 b 同向时，a·b 等于什么？当 a 与 b 反向时，a·b 等于什么？特别地，a·a 等于什么？ 答案　当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|； a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝. 思考 3　|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量 a，b，如何求它们的夹角 θ？ 答案　|a·b|≤|a||b|，设 a 与 b 的夹角为 θ， 则 a·b＝|a||b|cos θ. 两边取绝对值得|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 当且仅当|cos θ|＝1， 即 cos θ＝±1，θ＝0 或 π 时，取“＝”． 所以|a·b|≤|a||b|. cos θ＝. 梳理　两个向量内积有如下重要性质 (1)如果 e 是单位向量，则 a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉(a≠0)． (2)a⊥b⇒a·b＝0，且 a·b＝0⇒a⊥b(a≠0，b≠0)． (3)a·a＝|a|2 或|a|＝. (4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)． (5)|a·b|≤|a||b|. 类型一　求两向量的数量积 例 1　已知|a|＝4，|b|＝5，a 与 b 的夹角为 θ，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 30°时，分别求 a 与 b 的数量积． 解　(1)当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则 θ＝0°， a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20； 若 a 与 b 反向，则 θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当 a⊥b 时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30°时，a·b＝|a||b|cos 30° ＝4×5×＝10. 反思与感悟　求平面向量数量积的步骤：(1)求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数 量积，即 a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省 去． 跟踪训练 1　已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60° ，则BD·CD等于(　　) A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2 答案　D 解析　如图所示， 由题意，得 BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°. ∴BD·CD＝(BC＋CD)·CD ＝BC·CD＋CD2 ＝a·a·cos 60°＋a2 ＝a2. 类型二　求向量的模 例 2　已知|a|＝|b|＝5，向量 a 与 b 的夹角 θ 为，求|a＋b|，|a－b|. 解　a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝. |a＋b|＝＝ ＝＝5. |a－b|＝＝ ＝＝5. 引申探究 若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|. 解　a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝， |2a＋b|＝＝ ＝＝5. |a－2b|＝＝ ＝＝5. 反思与感悟　此类求解向量模的问题就是要灵活应用 a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方． 跟踪训练 2　已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值． 解　∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2 ＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b， ∵|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25， ∴a·b＝25. ∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2 ＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400， 故|3a＋b|＝20. 类型三　求向量的夹角 例 3　设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 60°，求向量 a＝2m＋n 与 b＝2n－3m 的夹角． 解　∵|n|＝|m|＝1 且 m 与 n 的夹角是 60°， ∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝. |a|＝|2m＋n|＝＝ ＝＝， |b|＝|2n－3m|＝＝ ＝＝， a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2 ＝－6×1＋2×1＝－. 设 a 与 b 的夹角为 θ， 则 cos θ＝＝＝－. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故 a 与 b 的夹角为. 反思与感悟　当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的 范围是[0，π]． 跟踪训练 3　已知 a·b＝－9，a 在 b 方向上的正射影的数量为－3，b 在 a 方向上的正射影的数量为－，求 a 与 b 的夹角 θ. 解　∵　∴ 即∴ ∴cos θ＝＝＝－. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 二、向量数量积的运算律 学习目标 　 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 知识点一　平面向量数量积的运算律 类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确. 运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误 交换律 ab＝ba a·b＝b·a 正确 结合律 (ab)c＝a(bc) (a·b)c＝a(b·c) 错误 分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c＝a·c＋b·c 正确 消去律 ab＝bc(b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c 错误 知识点二　平面向量数量积的运算性质 类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a 梳理　与多项式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号 “·”． 类型一　向量数量积的运算性质 例 1　给出下列结论：①若 a≠0，a·b＝0，则 b＝0；②若 a·b＝b·c，则 a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④ a·[b(a·c) －c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________． 答案　④ 解析　因为当两个非零向量 a，b 垂直时，a·b＝0，故①不正确； 当 a＝0，b⊥c 时，a·b＝b·c＝0，但不能得出 a＝c，故②不正确； 向量(a·b)c 与 c 共线，a(b·c)与 a 共线，故③不正确； a·[b(a·c)－c(a·b)] ＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④ 正确． 反思与感悟　向量的数量积 a·b 与实数 a，b 的乘积 a·b 有联系，同时有许多不同之处．例如，由 a·b＝0 并 不能得出 a＝0 或 b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律． 跟踪训练 1　设 a，b，c 是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法： ①(a·b)·c－(c·a)·b＝0； ②(b·c)·a－(c·a)·b 不与 c 垂直； ③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中正确的是________．(填序号) 答案　③ 解析　(a·b)·c 表示与向量 c 共线的向量，(c·a)·b 表示与向量 b 共线的向量，而 b，c 不共线，所以①错误； 由[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0 知，(b·c)·a－(c·a)·b 与 c 垂直，故②错误；向量的乘法