第五章 一元函数的导数及其应用（单元测试题 B） 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.设 f(x)＝xln x，若 f′(x0)＝2，则 x0 等于(　　) A．e2　　　　　　B．e C. D．ln 2 2.曲线 y＝x3－2x＋4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 3.函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)在 x＝－3 处取得极值，则 a＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 4.函数 f(x)的图象如图所示，则不等式(x＋3)f′(x)<0 的解集为(　　) A．(－∞，－3)∪(－1,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3) D．(1，＋∞) 5.函数 f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若 f(x)在区间[k,2]上的最大值为 28，则实数 k 的取值范围为( ) A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－∞，－3] 6.若函数 f(x)＝ex－ax－b 在 R 上有小于 0 的极值点，则实数 a 的取值范围是(　　) A．(－1,0) C．(－∞，－1) B．(0,1) D．(1，＋∞) 7.若函数 f(x)在 R 上可导，且 f(x)>f′(x)，则当 a>b 时，下列不等式成立的是(　　) A．eaf(a)>ebf(b) B．ebf(a)>eaf(b) C．ebf(b)>eaf(a) D．eaf(b)>ebf(a) 8.设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当 x>0 时，xf′(x)－f(x)<0，则使 得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞) 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9.曲线 y＝x2－1 与 y＝ln x(　　) A．在点(1,0)处相交 B．在点(1,0)处相切 C．存在相互平行的切线 D．有两个交点 10.函数 y＝2x3－3x2－12x＋5 在[－2,1]上的最值情况为(　　) A．最大值为 12 B．最大值为 5 C．最小值为－8 D．最小值为－15 11.已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f′(x)的大致图象如图所示，则下列说法正确的是( ) A．f(a)>f(e)>f(d) B．函数 f(x)在[a，b]上递增，在[b，d]上递减 C．f(x)的极值点为 c，e D．f(x)的极大值为 f(c) 12.对于函数 f(x)＝，下列说法正确的有(　　) A．f(x)在 x＝1 处取得极大值 C．f(4)＜f(π)＜f(3) B．f(x)有两个不同的零点 D．πe2＞2eπ 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上) 13.函数 f(x)＝exsin x 的图象在点(0，f(0))处切线的倾斜角为________ 14．已知函数 f(x)＝asin 2x－(a＋2)cos x－(a＋1)x 在上无极值，则 a＝________，f(x)在上的 最小值是________ 15.当 x∈(0,1]时，不等式 ax3－x2＋4x＋3≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围是________． 16.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为 30 n mile/h，当速度为 10 n mile/h 时，它的燃料费是每小时 25 元，其余费用(无论速度如何) 都是每小时 400 元．如果甲、乙两地相距 800 n mile，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的 总费用最低，它的航速应为________n mile/h. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17．(10 分)设函数 f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax. (1)若 f(x)的两个极值点为 x1，x2，且 x1x2＝1，求实数 a 的值； (2)是否存在实数 a，使得 f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出 a 的值；若不存 在，说明理由． 18．(12 分)已知函数 f(x)＝－aln x. (1)若曲线 f(x)在 x＝1 处的切线方程为 x－2y＋1＝0，求实数 a 的值； (2)求函数 f(x)在区间[1,4]上的极值． 19．(12 分)已知函数 f(x)＝ln x＋(a>0)． (1)若 a＝1，求函数 f(x)的单调区间； (2)若以函数 y＝f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点 P(x0，y0)为切点的切线的斜率 k≤恒成立，求 实数 a 的最小值． 20．(12 分)已知函数 f(x)＝ex－3x＋3a(e 为自然对数的底数，a∈R)． (1)求 f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当 a>ln ，且 x>0 时，>x＋－3a. 21．(12 分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ln x－. (1)讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点； (2)设 x0 是 f(x)的一个零点，证明曲线 y＝ln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 y＝ex 的切 线． 22．(12 分)函数 f(x)＝aln x－bx2(x＞0)． (1)若函数 f(x)在 x＝1 处与直线 y＝－相切， ① 求实数 a，b 的值；②求函数 f(x)在上的最大值． (2)当 b＝0 时，若不等式 f(x)≥m＋x 对所有的 a∈，x∈(1，e2]都成立，求实数 m 的取值范 围． 参考答案： 一、单项选择题 1.B 解析：∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，∵f′(x0)＝2，∴ln x0＋1＝2，∴x0＝e.故选 B. 2.B 解析：由题意知点(1,3)在曲线 y＝x3－2x＋4 上．∵y＝x3－2x＋4，∴y′＝3x2－2，根据导数的几何意义， 可知曲线 y＝x3－2x＋4 在点(1,3)处的切线的斜率 k＝y′|x＝1＝1，∴曲线 y＝x3－2x＋4 在点(1,3)处的切线的 倾斜角为 45°.故选 B. 3.D 解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3， 又 f(x)在 x＝－3 处取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0.得 a＝5. 4.A 解析：当 x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，解不等式(x＋3)·f′(x)<0，得 x<－3. 当 x∈(－1,1)时，f′(x)<0，解不等式(x＋3)·f′(x)<0，得－1<x<1. 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，不等式(x＋3)·f′(x)<0 无解． 综上，不等式(x＋3)f′(x)<0 的解集为 x∈(－∞，－3)∪(－1,1)，故选 A. 5.D 解析：由题意知 f′(x)＝3x2＋6x－9，令 f′(x)＝0，解得 x＝1 或 x＝－3， 所以 f′(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表： x 1 (－∞，－3) －3 (－3,1) (1，＋∞) f′(x) 0 0 ＋ － ＋    f(x) 极大值 极小值 又 f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为 28，所以 k≤－3. 6.B 解析：由题意知 f′(x)＝ex－a. 当 a≤0 时，f′(x)>0 恒成立，则 f(x)在 R 上单调递增，不符合题意． 当 a>0 时，令 f′(x)＝0，解得 x＝ln a， ∴当 x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当 x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0. 可知 x＝ln a 为 f(x)的极值点，∴ln a<0，∴a∈(0,1)．故选 B. 7.D 解析：∵ ′＝＝ <0，∴y＝单调递减， 又 a>b，∴ <，∴eaf(b)>ebf(a)． 8.A 解析：当 x>0 时，令 F(x)＝，则 F′(x)＝<0，∴当 x>0 时，F(x)＝为减函数． ∵f(x)为奇函数，且由 f(－1)＝0，得 f(1)＝0，故 F(1)＝0. 在区间(0,1)上，F(x)>0；在(1，＋∞)上，F(x)<0.即当 0<x<1 时，f(x)>0；当 x>1 时，f(x)<0. 又 f(x)为奇函数，∴当 x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；当 x∈(－1,0)时，f(x)<0. 综上可知，f(x)>0 的解集为(－∞，－1)∪(0,1)． 二、多项选择题 9.ACD 解析：令 f(x)＝x2－1，g(x)＝ln x，f(1)＝g(1)＝0，f′(1)＝2，g′(1)＝1，故选 A，排除 B. f′(x)＝2x∈R，g′(x)＝∈(0，＋∞)，存在 f′(1)＝g′，故选 C. 令 F(x)＝f(x)－g(x)，则 F′(x)＝2x－，故 F(x)在上单调递减，在上单调递增， 而 F＝－＋ln 2＜0，F＞F(e)＝e2－2＞0，故选 D. 10.AC 解析：y′＝6x2－6x－12，由 y′＝0⇒x＝－1 或 x＝2(舍去)． x＝－2 时，y＝1；x＝－1 时，y＝12；x＝1 时，y＝－8. ∴ymax＝12，ymin＝－8.故选 A、C. 11.CD 解析：由导数与函数单调性的关系知，当 f′(x)>0 时，f(x)单调递增，当 f′(x)<0 时，f(x)单调递减． 结合所给图象知，当 x∈(a，c)时，f′(x)>0，∴f(x)在(a，c)上单调递增； 当 x∈(c，e)时，f′(x)<0，∴f(x)在(c，e)上单调递减； 当 x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(e，＋∞)上单调递增， ∴函数 f(x)在 x＝c 处取得极大值 f(c)，在 x＝e 处取得极小值 f(e)，∴f(x)的极值点为 c，e.故选 C、D. 12.AC 解析：由函数 f(x)＝，可得函数 f(x)的导数为 f′(x)＝.当 x＞1 时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当 x＜1 时，f′ (x)＞0，f(x)单调递增．可得函数 f(x)在 x＝1 处取得极大值，且为最大值，所以 A 正确；因为 f(x)在(－ ∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且 f(0)＝0，当 x＞0 时，f(x)＞0 恒成立，所以函数 f(x)只有 一个零点，所以 B 错误；由 f(x)在