陕西省西安中学高 2022 届高三第二次模拟考试 理科数学试题 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数 z 满足 z (1  2i ) | 4  3i | （其中 i 为虚数单位），则复数 z 的虚部为 ( 　　 ) B． 2i A． 2 C．1 D． i 2．某几何体的三视图如图所示（单位： cm) ，则该几何体的体积 （单位： A．2 cm3 ) ( 是 　　 B．4 ) C．6 D．8 2 ( x 2  )n x 的展开式中，第 5 项为常数项，则 n  ( 　　 ) 3． A．8 B．6 C．7 D．10 4．已知各项均为正数的等比数列 {an } 的前 4 项和为 15，且 a5  3a3  4a1 ，则 a3  ( ) A．16 B．8 C．4 D．2 5．现有语文、数学、英语、物理各 1 本书，把这 4 本书分别放入 3 个不同的抽屉里， 要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为 ( 　　 ) A．18 B．24 C．30 D．36 6．在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的 性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解 � � 析式（其中 e  2.71828 � 为自然对数的底数）与所给图象最契合的是 ( 　　 ) A． y 2sin x x2  1 B． y e x  e x 2x y  e x  e x x 2  1 C． D． y e x  e x e x  e x 7．地铁某换乘站设有编号为 m1 ， m2 ， m3 ， m4 的四个安全出口，若同时开放其中的 两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如表： 安全出口编号 疏散乘客时间 (s) m1 ， m2 120 m2 ， m3 m3 140 ， m4 190 m1 ， m3 160 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 ( 　　 ) A． m1 8．已知直线 B． m2 3 x  4 y  10  0 与圆 C． m3 C : x 2  y 2  2 x  4 y  20  0 D． m4 相交于 A ， B 两点，点 P 在 圆 C 上，且满足 SPAB  4 ，则满足条件的 P 点个数为 ( 　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．某建筑工地因施工噪音过大，被居民投诉．环保局要求其整改，降低声强．已 知声强 I （单位： W / m2 ) 表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声 lg (aI ) ．已知 I  1013W / m2 时， 强级 L （单位： dB) 与声强 I 的函数关系式为 L  10 � L  10dB ．若整改后的施工噪音的声强为原声强的 102 ，整改后的施工噪音的声强级 降低了 ( 　　 ) A． 50dB B． 40dB 10．已知双曲线 C: C． 30dB D． 20dB y 2 x2   1( a  0, b  0) a 2 b2 的上、下顶点分别为 A1 ， A2 ，点 P 在双曲线 3 C 上（异于顶点），直线 PA1 ， PA2 的斜率乘积为 4 ，则双曲线 C 的渐近线方程为 ( ) 1 y� x 2 A． B． y� 3 x 2 2 3 y� x 3 C． D． y  �2 x | ln( x  1) |, x �(1,1] � � f ( x)  �x 1  ln2  , x �(1, �) ，若方程 11．已知函数 � f ( x)  a 有三个不等根 x1 ， x2 ， x3 ， e �e x 1 1 1   则 x1 x2 x3 的取值范围是 ( 　　 ) A． (1, �) 12．已知数列 C． (1, 0) B． (0,1) {an } 满足 a2 n  a2n 1  3n  1 ， D． (�,1) a2 n 1  a2n  3n  5(n �N  ) ，则数列 {an } 的前 40 项和 S40  ( 　　 ) 321  197 2 A． 320  197 2 B． 10 C． 9  98 D． 920  98 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) r a r b 13．已知单位向量 ， 满足 r r r r | a  b || a  2b | r a r b ，则 与 的夹角为　 　． 14．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了 巨大贡献，他所倡导的“0.618 优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用 .0.618 就是黄金分割比 m 4  m2  1  2sin 2 27� 　　 m 5 1 2 的 近 似 值 ， 黄 金 分 割 比 还 可 以 表 示 成 2sin18�， 则 ． 15．如图所示，已知抛物线 C : y 2  8x 的焦点为 F ，准线 l 与 x 轴的交点为 K ，点 A 在 抛物线 C 上，且在 x 轴的上方，过点 A 作 AB  l 于 B ， 积为 　 | AK | 2 | AF | ，则 AFK 的面 　． 16．已知在圆柱 O1O2 （ O1 , O2 是圆柱上下底面圆心）内有一个球 O ，该球与圆 柱的上、下底面及母线均相切．过直线 O1O2 的平面截圆柱得到四边形 ABCD ，其面 � 的中点，则平面 PAB 与球 O 的交线长为　 积为 8．若 P 为圆柱底面圆弧 CD 　． 三、解答题：（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分 12 分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并 解答．① 2sin（A+C）+2sin（B+C）cos（A+B）＝sin（A+B）； ②tanA+tanB+tanC﹣ tanBtanC＝0； ③ cosA（bcosA+acosB）﹣csinA＝0， 已知△ABC 中的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_____． （1）求 A；（2）若 a+2b＝3 且 a2 ≤ bc，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分 12 分）在三棱锥 P  ABC 中，底面 ABC 为正三角形，平面 PBC  平 面 ABC ， PB  PC  1 ， D 为 AP 上 一 点 ， AD  2 DP ， O 为 三 角形 ABC 的中心． （1）求证： AC  平面 OBD ； （2）若直线 PA 与平面 ABC 所成的角为 45�，求二面角 A  BD  O 的余弦值． 19.（本小题满分 12 分）天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越 亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地 球 32.6 光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．如表列出了（除 太阳外）视星等数值最小的 10 颗最亮恒星的相关数据，其中 a �[0 ， 1.3] ． 星名 天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四 1.47 0.72 0.27 0.04 0.03 0.08 0.12 0.38 0.46 a 绝对星等 1.42 5.53 4.4 0.38 0.6 0.1 6.98 2.67 2.78 5.85 视星等 16.7�52.7�60.8� 19.2� 38.8� 46� 8.2� 5.2� 57.2� 7.4� 赤纬 （1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率； （2）已知北京的纬度是北纬 40�，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于 50�时，能 在北京的夜空中看到它，现从这 10 颗恒星中随机选择 4 颗，记其中能在北京的夜空 中看到的数量为 X 颗，求 X 的分布列和数学期望； （3）记 a  0 时 10 颗恒星的视星等的方差为 差为 s22 ，判断 s12 与 s22 s12 ，记 a  1.3 时 10 颗恒星的视星等的方 之间的大小关系．（写结论不需要证明） 20．（本小题满分 12 分）已知椭圆 E: x2 y 2   1( a  b  0) a 2 b2 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ， P 是椭圆 E 上的一动点，且 | PF1 | 的最小值是 1，当 PF1 垂直长轴时， （1）求椭圆 E 的方程； | PF1 | 3 2． （2）是否存在斜率为 1 的直线 与以线段 l 圆 E 相交于 C 、 D 两点，且 | CD | � | AB | F1 F2 为直径的圆相交于 A 、 B 两点，与椭 24 2 7 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存 在，说明理由． 21．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x)  x  alnx ． （Ⅰ）求曲线 y  f ( x) 在点 (1 ， f （1） ) 处的切线方程； （Ⅱ）求 f ( x) 的单调区间； （Ⅲ）若关于 x 的方程 x  alnx  0 有两个不相等的实数根，记较小的实数根为 x0 ， 求证： (a  1) x0  a ． 选做题：请考生在第 22、23 二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分．作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分 10 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 � x  1  � � 1 t2 (t 为参数）．以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 � �y  t � 1 t2 O x  5  cos(  )  l 的极坐标方程为 3 4 ． （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； 1 1  （2）若直线 l 交曲线 C 于 A ， B 两点，交 x 轴于点 P ，求 | PA | | PB | 的值． 23．（本小题满分 10 分）已知函数 f（x）＝|ax+1|+|3x﹣1|． （1）当 a＝