第二章 一元二次函数、方程和不等式章末检测 时间：120 分钟 分值：150 分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．设 ，则 是 的(　　) A． 充分不必要条件 C． 充要条件 2．已知 B． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 ，则下列命题正确的是(　　) A． B． C． D． 3．设函数 （ ），若 ，则函数 是(　) 4．若 α，β 满足 ，则 A． B． C． D． 的取值范围是(　　) 5．已知 x，y∈R＋，且满足 x＋2y＝2xy，那么 x＋4y 的最小值为(　　) A． 3－ B． 3＋2 C． 3＋ D． 4 的图象不可能 ，其中 6．设 ，且 ，B＝－x2＋4x－2，则 A 与 B 的大小关系是 (　　) A．A≥B B．A>B C．A<B D．A≤B ，则 7．已知 a>0，b>0， 的最小值为(　　) A．4 B．2 C．8 D．16 ，且 8．已知 a>0，b>0， A．3 B．4 C．5 D．6 9．若 a，b 都是正数，则 ， ．则 α＋β 的最小值是(　　) 的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 10． 已知 时不等式 恒成立，则 x 的取值范围为( ) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3) 11．已知 ，且 ， ，则 M、N 的大小关系是 A． M>N　　　　　　　 B． M<N C． M＝N D． 不能确定 12．关于 x 的不等式 的解集为 ( ) ，且 ， 则 (　 ) A． B． C． D． 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知 x≥0，y≥0，且 x＋y＝1，则 x2＋y2 的取值范围是________． 14．若关于 x 的方程 x2＋ax＋a2－1＝0 有一正根和一负根，则 a 的取值范围为________． 15．正数 a，b 满足 ，若不等式 对任意实数 x 恒成立， 则实数 m 的取值范围是________． 16．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正 比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运 费为 20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓 储费之和最小，最小为________万元． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 17．（本小题 10 分）解不等式组 ． 18．（本小题 12 分）正数 x，y 满足 ． (1)求 xy 的最小值； (2)求 x＋2y 的最小值． 19．（本小题 12 分）若不等式(1－a)x2－4x＋6>0 的解集是{x|－3<x<1}． (1)解不等式 2x2＋(2－a)x－a>0； (2)b 为何值时，ax2＋bx＋3≥0 的解集为 R． 20 ． （ 本 小 题 12 分 ） 设 21．（本小题 12 分）解关于 x 的不等式 ， 且 ， 证 明 ： ． 22．（本小题 12 分） 如图，建立平面直角坐标系 ， 轴在地平面上， 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千 米 ． 某 炮 位 于 坐 标 原 点 ． 已 知 炮 弹 发 射 后 的 轨 迹 在 方 程 表示的曲线上，其中 与发射方向有关．炮的射程是指 炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3．2 千米，试问它的横坐 标 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 第二章 一元二次函数、方程和不等式章末检测参考答案 时间：120 分钟 分值：150 分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．设 ，则 是 A． 充分不必要条件 C． 充要条件 的(　　) B． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 解析：若 a>1，则<1 成立；反之，若<1，则 a>1 或 a<0．即 a>1⇒<1，而<1⇒ a>1，故选 A． 2．已知 ，则下列命题正确的是(　　) A． B． C． D． 解析：A 项，c＝0 时不成立；B 项，c<0 时不成立；C 项，因为 a>b，ab<0，所以<，即 <，正确；D 项，因为 a>b，ab>0，所以 a·ab>b·ab，即 a2b>ab2，不成立． （ 3．设函数 ），若 ，则函数 的图象不可能 是(　) 解析：由 A，B，C，D 四个选项知，图象与 x 轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为 x1，x2，若只有一个交点，则 x1＝x2，由于 a＝c，所以 x1x2＝＝1，比较四个选项，可知 选项 D 的 x1＜－1，x2＜－1，所以 D 不满足． 4．若 α，β 满足 ，则 A． B． C． D． 的取值范围是(　　) 解析：从题中－<α<β<可分离出三个不等式：－<α<　①，－<β<　②，α<β　③．根据 不等式的性质，②式同乘以－1 得－<－β<　④，根据同向不等式的可加性，可得－π<α －β<π．由③式得 α－β<0，所以－π<α－β<0． 5．已知 x，y∈R＋，且满足 x＋2y＝2xy，那么 x＋4y 的最小值为(　　) A． 3－ B． 3＋2 C． 3＋ D． 4 解析：由 x>0，y>0，x＋2y＝2xy，得＋＝1，则 x＋4y＝(x＋4y)·＝＋1＋2＋≥3＋2＝3＋ 2，当且仅当＝时等号成立． 6．设 ，其中 a、b 是正实数，且 a≠b，B＝－x2＋4x－2，则 A 与 B 的大小关系 是(　　) A．A≥B B．A>B C．A<B D．A≤B 解析：因为 a，b 都是正实数，且 a≠b， 所以 A＝＋>2＝2，即 A>2， B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2， 即 B≤2，所以 A>B． ，则 7．已知 a>0，b>0， 的最小值为(　　) A．4 B．2 C．8 D．16 解析：由 a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得 ab＝1， 则＋≥2＝2．当且仅当＝，即 a＝，b＝时等号成立． ，且 8．已知 a>0，b>0， A．3 B．4 C．5 D．6 ， ．则 α＋β 的最小值是(　　) 解析：因为 α＋β＝a＋＋b＋＝·(a＋b) ＝1＋1＋1＋＋≥5． 当且仅当 a＝b＝时，等号成立． 9．若 a，b 都是正数，则 的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：由 a，b 都是正数，可得＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当 b＝2a>0 时取等号． 10． 已知 a∈[－1，1]时不等式 x2＋(a－4)x＋4－2a＞0 恒成立，则 x 的取值范围为(　　) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3) 解析：把不等式的左端看成关于 a 的一次函数，记 f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 则由 f(a)＞0 对于任意的 a∈[－1，1]恒成立， 所以 f(－1)＝x2－5x＋6＞0， 且 f(1)＝x2－3x＋2＞0 即可，解不等式组得 x＜1 或 x＞3． 11．已知 ，且 ， ，则 M、N 的大小关系是 A． M>N　　　　　　　 B． M<N C． M＝N D． 不能确定 ( ) 解析：∵0<a<，∴1＋a>0,1＋b>0,1－ab>0， ∴M－N＝＋＝ >0． 12．关于 x 的不等式 则 的解集为 ，且 ， (　 ) A． B． C． D． 解析：由条件知 x1，x2 为方程 x2－2ax－8a2＝0 的两根，则 x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故 (x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得 a＝． 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知 x≥0，y≥0，且 x＋y＝1，则 x2＋y2 的取值范围是________． 解析：x2＋y2≥＝．当且仅当 x＝y 时等号成立． 当 x＝0 或 x＝1 时，x2＋y2 取最大值，为 1． 所以 x2＋y2 的取值范围是． 13．若关于 x 的方程 x2＋ax＋a2－1＝0 有一正根和一负根，则 a 的取值范围为________． 解析：由题意可知，Δ>0 且 x1x2＝a2－1<0，故－1<a<1． 15．正数 a，b 满足 ，若不等式 则实数 m 的取值范围是________． 对任意实数 x 恒成立， 解析：因为 a＞0，b＞0，＋＝1，所以 a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，由题意，得 16≥－x2＋4x＋18－m，即 x2－4x－2≥－m 对任意实数 x 恒成立，而 x2－4x－2＝(x－2)2－ 6，所以 x2－4x－2 的最小值为－6，所以－6≥－m，即 m≥6． 16．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正 比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运 费为 20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓 储费之和最小，最小为________万元． 解析：设工厂和仓库之间的距离为 x 千米，运费为 y1 万元，仓储费为 y2 万元，则 y1 ＝ k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)， ∵工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费用为 5 万元， ∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为万元， ∵5x＋≥2＝20，当且仅当 5x＝，即 x＝2 时，运费与仓储费之和最小，为 20 万元． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 17．（本小题 10 分）解不等式组 ． 解析：≤1⇒≤0⇒x∈[－2,6)， 6x2－x－1>0⇒(3x＋1)(2x－1)>0⇒x∈∪， 所以原不等式组的解集为 x∈∪． 18．（本小题 12 分）正数 x