2021-2022 学年新人教 A 版必修第二册单元测试 第六章《平面向量及其应用》测试题 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） r r r r a  (2,3) b  (6, x ) a 1、已知向量 ， ，且  b ，则 x 的值为( C． 9 B． 4 A．4 ) D． 9 r r r a  (4,1) b  ( x, 2) ，且 ar 与 b 平行，则 x  （ ） 2、已知平面向量 ， 1 B． 2  A． 8 1 D． 2 C． 8 uuur r uuu r r uuur 3、 如图所示， D 是 ABC 的边 AB 上的中点，记 BC  a ， BA  c ，则向量 CD  （ r 1r a  c 2 A． r 1r a  c 2 B． r 1r a c 2 C． ） r 1r a c 2 D． r r r r a  5 b ⃗ 0 ,a� 4、若 b =10 ，且 ⃗a 与 b 的夹角为 60 ，则  （ ） 16 A． 3 4 3 C． 3 B． 16 D． 4 r r r r a  (1, 3), b  (1, 0), c  ( 3, k ). 若 ar  2b 与 cr 共线，则实数 k  （ ） 5、知向量 A. 0 B. 1 6、在 ABC 中， A． 60� C. 3 D. 3 AB  3 ， AC  1 ， �B  30o ，则 �A  （ B． 30 或90 C． 60�或120� ） D． 90 uuur uuur uuur uuur uuur uuur 7、在梯形 ABCD 中， DC  2 AB  4 PC ，且 AP   AB   AD ，则    的值为（ ）． A． B． 1 C． 2 5 2 D． 3 uuuu r uuur AM � BD 8、梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AD＝AB＝3DC＝3，若 M 为线段 BC 的中点，则 的值是（ ） 3 A、－ 2 3 B、 2 1 C、－ 2 1 D、 2 二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分，有多项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分， 有选错得 0 分） 9、以下说法正确的是（　 ） A．两个相等向量的模相等 B. 平行向量方向相同 ⃗ C. 若 ⃗a 和 b 都是单位向量，则 ⃗a =⃗b D.平行向量一定是共线向量 10、下列运算中正确的是（ ） uuu r uuur uuu r OA  OB  BA A、 r uuu r r 0 � AB 0 C、 uuu r uuu r AB  BA 0 B、 uuur uuur uuur uuur AB  BC  CD  AD D、 11、已知下列命题中，正确的是（ ） r r r r kb  0 b  0， k � R k  0 A、若 ，且 ，则 或 r r r r r r a � b  0 a  0 或b  0 B、若 ，则 C、若不平行的两个非零向量 a , b ，满足 ¿ a∨¿∨b∨¿ ，则 (a+ b)⋅(a −b)=0 r r a gb | a | � |b| a b D、若 与 平行，则 AB=⃗c ， ⃗ BC=⃗a ， ⃗ CA=b⃗ ，则下列推导正确的是（ ）。 12、在 Δ ABC 中 ⃗ A、若 ⃗a ⋅ b⃗ < 0 则 Δ ABC 是钝角三角形 ⃗ =0 ，则 Δ ABC 是直角三角形 B、 若 ⃗a ⋅ b ⃗ =⃗c ⋅ ⃗b ， 则 Δ ABC 是等腰三角形 C、若 ⃗a ⋅ b D、 若 ¿ ⃗a ∨¿∨ ⃗b − ⃗c ∨¿ ，则 Δ ABC 是直角三角形 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） r r r r a  (  3, 4) | b | 13、已知 ，若 ＝5， b ⊥ a ，则向量 ⃗b =¿ ______ 14、已知 ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a  b  2c ， 3c  5b ，则 A= ______ ___． uuur uuur uuur AD  1 uuur uuur 15、如图，在 ABC 中， AD  AB ， BC  2 BD ， ，则 AC � AD  ' 16、如图，在 (2 x ) 2x 2 = lim x ' = lim x =0 , x x →+∞ e x →+∞ ( e ) x →+∞ e . 2x 0 = 0 =0 , 中，点 x x →0 e e lim lim x2 2x 2 x 2 tx ln t t ln t > 1. ∵ x 1 =a= x 2 = tx 1 ∴ e tx − x =t ∴ x 1= , x 2= x1 t −1 t −1 e e e 2 lnt t −1 ∴ 要证 ln x 1+ ln x 2 <0 只需证0 < x1 x 2<1 只需证t <1 ⇔ lnt < (t> 1) t −1 √t 满足 x2 − 1 1 ⇔ln x 2< ⇔ 2 ln x< x − (x =√ t >1)(∗) x x 1 2 1 x 2 − 2 x +1 ∵T ( x )=2 ln x − x − , T ' (x)= −1 − 2 =− ≤0 x x x x2 ∴T ( x)在 (1,+ ∞)上单调递减 ∴ x >1 时T (x)<T (1)=0 , 不等式 (∗) 得证 , D 正确 . uuuu r uuu r 9 18 = ，过点 P 的直线与 AB，AC 所在的直线分别交于点 M ，N 若 AM   AB ， 5 10 uuur uuur AN   AC , (  0,   0) ，则 0< x1 <1< x 2 , 令t = 1 1 2 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 18 + +⋯+ = + + ⋯+ =2× 1 − + − +⋯+ − = =1 . 8 的最小 a1 a 2 a9 1× 2 2× 3 9 ×10 2 2 3 9 10 10 值为__________ ∴ ( ) 三 解答题（共 6 小题，共计 70 分） r r r r r r | a |  4 | b |  3 ( a  b ) � ( a  2 b ) 4. 17、（10 分）已知 ， ， r r b （1）求 a � r r | a （2）求  b | . 3 r r 18．（12 分）已知向量 a ＝(sinx， 4 )， b ＝(cosx，﹣1)． r r a b （1）当 ∥ 时，求 tan2x 的值；  r r r b ，且 x �(0， 2 )，求 f ( x ) 的最大值以及对应的 x 的值． （2）设函数 f ( x)  2(a  b) � 19．（12 分）在 ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ． ur r ur r m  a , c  2 b n   已知 ，   cos C , cos A ，且 m  n ． （Ⅰ）求角 A 的大小； uuur 1 uuur AB  AC  2 （Ⅱ）若 ，求 ABC 面积的最大值． 3 20、（12 分）在 ABC 中，角 A 、 B 、 C a b c 2sin 2 C  2 2 cos C  3  0 所对的边分别为 、 、 ，且 ． （1）求角 C 的大小； 2 sin A sin B （2）若 b  2a ， ABC 的面积为 2 ，求 sin A 及 c 的值． 2c cos A  2b  a a 21、（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 ，b，c，已知 （1）求角 C （2）若 D 是边 BC 的中点， AC  5, AD  21, 求 AB 的长 22、（12 分）如图所示， ABC 是边长为 1 的正三角形，点 P1 , P2 , P3 四等分线段 BC ． uuu r uuur uuur uuur AB � AP1  AP1 � AP2 的值； （Ⅰ）求 uuur 1 uuu r uuur AQ  AB  m AC （Ⅱ）若点 Q 是线段 AP3 上一点，且 ，求实数 m 的值． 12 参考答案 1、B 2、C 9、AD 13、 3、B 10、AD 4、D 5、B 6、B 11、AC 7、C　　　8、A 12、BCD (4,3)或(4, 3) 2 14、 3 （或 120°） 15、 2 16、1+ 2 2 3 uuur uuu r uuur uuu r uuur Q AC  AB  BC  AB  2 BD ， 15、解析: uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur  AC � AD  ( AB  2 BD) � AD  2 BD � AD  2 BD cos �ADB  2 . 16.解： ， ，又 ， ；又 P、M、N 三点共线， ， ， ， 当且仅当 时取“ ”， 的最小值为 ． r r r r Q ( a  b ) � ( a  2 b )4 17、解：（1） r2 r r r2 a  a � b  2b  4 …………………………………………………………………………（1 分） r2 r r r2 a a� b2b 4 即 …………………………………………………………………………（3 分） r r 2 b  2 �( 3) 2  4 ………………………………………………………………（4 分） 即4 a� r r a � b  6 ……………………………………………………………………………………（5 分） r r r r Q a  b  (a  b) 2 （2） 而 ……………………………………………………………………（7 分） r r r2 r r r2 r 2 r r r2 ( a  b) 2  a  2a � b  b  a  2a � b  b  42  2 �6  ( 3) 2  31 …………………（9 分） r r r r  a  b  (a  b) 2  31 …………………………………………………