第一章 集合与函数概念 章末检测 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.满足条件{1，2} �A A.1 {1，2，3，4}的集合 A 的个数是( ) B.2 2．已知集合 C.3 A  {2,3,1} D.4 ，集合 B  {3, m 2 } A． {1} C． .若 B �A ，则实数 m 的取值集合为（ B．  1, 1  3 D． { 3, 3} 3.如图，U 是全集，M、P、S 是 U 的 3 个子集，则阴影部分所表示的集合是( ) A.（M∩P）∩S C.（M∩P）∩ B.（M∩N）∪S S D.（M∩N）∪ 4.函数 y=x(x2-1)的大致图象是( 5．函数 A． f  x  x  3  {x | x �3 且 ) 1 x  1 的定义域为（ x �1} S ） B． { x | x  3 且 x �1} ） {x | x �1} C． D． {x | x �3} 6.已知函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如图，则 y=f(x)·g(x)的大致图象为( ) �1 � f � x  1� 2 x  1 7．已知函数 �2 ，且 f  a   5 ，则 a  （ � 1 A． 2 1 B． 2 C．2 D．1  ） 8.在一定范围内，某种产品的购买量 y 吨与单价 x 元之间满足一次函数关系，如果购买 1 000 吨，每吨为 800 元；购买 2 000 吨，每吨为 700 元.一客户购买 400 吨单价应该是( ) A.820 元 B.840 元 C.860 元 D.880 元 f  x2   f  x1  0 9．定义在 R 上的偶函数 f  x  满足：对任意的 x1，， ，且 x2 � 0  � , x1 �x2 ，有 x2  x1 f  2  0 ，则不等式 xf  x   0 的解集是（ ） A． 2  2， B． 0 U 2  2，，  � C．  2 U  0 2  �，， D．  2 U 2  �，，  � x2 1 1 1 10.f（x）= x 2 +1 ，则 f（1）+f（2）+f（ 2 ）+f（3）+f（ 3 ）+f（4）+f（ 4 ）等于( ) A.3 B. 7 2 C.4 D. 9 2 11.若函数 f(x)和 g(x)都是奇函数，且 F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2 在区间(0，＋∞)上有最大值 5，则 F(x)在区间 (－∞，0)上(　　) A．有最小值－5 B．有最大值－5 C．有最小值－1 D．有最大值－3 12．如果函数 y=f（x）在区间Ⅰ上是减函数，而函数 y f  x x 在区间Ⅰ上是增函数，那么称函数 y=f（x）是区间Ⅰ上的“缓减函数”，区间Ⅰ叫做“缓减区间”．若函数 是“缓减函数”，则下列区间中为函数Ⅰ的“缓减区间”的是（ 2 A．  �， 0，2 � B． � � 1，3 � D． � � 2� C． � 2， � � � � f  x  1 2 x  2x 1 是区间Ⅰ上 2 ） 二、填空题：请将答案填在题中横线上． 13．已知函数 y  f  x 的定义域为  2, 2  ，函数 g  x   f  x  1  f  3  2 x  ，则函数 g  x  的定义域 为______． 14．函数 f  x    x 2  2 x  3 的单调增区间为______． ¿ x >0 . ¿ ¿ no ¿ ¿ x 2 + 1, ¿ ¿ x ≤0, ¿¿ ¿ ¿ ¿ ¿ −2 x , 15.若 f(x)= 如果 f(x)=10,则 x=________________. 16.若函数 f(x)同时满足：①对于定义域上的任意 x，恒有 f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意 x1，x2， 当 x1≠x2 时，恒有<0.则称函数 f(x)为“理想函数”．给出下列三个函数中：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2；(3)f(x)＝能被 称为“理想函数”的有________．(填相应的序号) 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.设 A＝{－3，4}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，B≠∅，且 A∩B＝B，求 a，b 的值. 18．已知函数 f  x  xa x 2  1 为奇函数． （1）求 a 的值； （2）判断函数 f  x 在 ，  11 上的单调性，并证明． 19.已知二次函数 f(x)的最小值为 1，且 f(0)＝f(2)＝3. (1)求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数 a 的取值范围； (3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在 y＝2x＋2m＋1 的图象上方，试确定实数 m 的取值范围．  x 2  4 x, x �0 � 20．已知函数 f  x   � 2 是奇函数． �x  mx, x  0 （1）求实数 m 的值； （2）若函数 21．已知函数 f  x 在区间  2，a  2 上单调递增，求实数 a 的取值范围． f  x   ax  b  a �0  满足 3 f  x  1  2 f  x  1  2 x  6 （1）求 a ， b 的值； （2）求函数 g  x  x � 2 上的最值. �f  x   6 � �在区间  0， . 22.已知函数 f(x)的定义域是(0，＋∞)，当 x>1 时，f(x)>0，且 f(x·y)＝f(x)＋f(y). (1)求 f(1)； (2)证明 f(x)在定义域上是增函数； (3)如果 f()＝－1，求满足不等式 f(x)－f(x－2)≥2 的 x 的取值范围. 1.【答案】C 【解析】∵{1，2} �A {1，2，3，4}，∴A 中至少有 1、2 两个元素，至多有 1、2、3（4）三个元素. ∴集合 A 可能有三种情况：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}.∴集合 A 的个数是 3.故选 C. 【名师点睛】本小题主要考查集合间的关系，属于基础题.解答本题时，这里要明确子集与真子集的概念及 包含关系. 2．【答案】C 【解析】若 m  1 ，则 若 m  1 ，则 B   1,3 B   1,3 ，符合 B �A ，排除 B，D 两个选项. ，符合 B �A ，排除 A 选项.故本题选 C. 【名师点睛】本小题主要考查子集的概念，考查选择题的解法——排除法，属于基础题.求解时，将选项中 的元素逐一验证，排除错误选项，由此得出正确选项. 3.【答案】C 【解析】图中阴影部分的元素 x 的属性是：x∈M 且 x∈P，但 x ¿ S.故选 C. 【名师点睛】本题要求能将符号语言、图形语言、文字语言转化为集合间元素的关系，会将三者的转译的 能力是高考命题的一个侧重点，应力求熟练准确. 4. 【答案】A 【解析】本题综合考查函数的奇偶性、单调性. ① 函数 y=x(x2-1)为奇函数，图象应该关于原点对称；② 0<x<1 时，y<0；③ x>1 时，y>0.综合上述三点，本 题中 A 符合. 【名师点睛】根据奇偶性，再代入特殊点即可选出答案． 函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 5．【答案】A �x  3 �0 【解析】要使 f  x  有意义，则 � �x  1 �0 ，解得 x �3 ，且 x �1 ， ∴ f  x 的定义域为： {x | x �3, 且x �1} ．故选 A． 【名师点睛】本题主要考查了函数定义域的定义及求法，属于基础题.求解时，由题可得：要使得函数 �x  3 �0 � f  x  有意义，则需满足 �x  1 �0 ，解出 x 的范围即可． 6.【答案】B 【解析】由 y=f(x)和 y=g(x)图象可知 y=f(x)为偶函数，y=g(x)为奇函数，∴y=f(x)·g(x)为奇函数，于是可排除 A、C，又当 x 取小于 1 的正值 x0,f(x0)>0,g(x0)<0，故 f(x0)·g(x0)<0,故应排除 D，∴应选 B. 【名师点睛】本题是奇偶函数的性质与图象的综合应用，结合原两函数的奇偶性与组合后的奇偶性再确定 备选答案. 7．【答案】B 1 【解析】根据题意，函数 f（ 2 x﹣1）＝2x﹣1， 1 令 t 2 x﹣1，则 x＝2（t+1），则 f（t）＝4（t+1）﹣1＝4t+3，  1 若 f（a）＝5，即 4a+3＝5，解可得 a 2 .故选 B．  【名师点睛】本题考查函数的解析式的求法及函数值的运算，属于基础题．根据题意，先由换元法求出函 数的解析式，结合函数的解析式可得 4a+3＝5，解得 a 的值，即可得答案． 8．【答案】C 【解析】设 y=kx+b，由 9000− y 10 ∴x= 1000=800 k + b , 2000=700 k + b , ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ∴ k =−10 , b =9000 . ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ∴y=-10x+9 000. .当 y=400 时，x=860 元.故选 C. 【名师点睛】本题考查的是一次函数与实际问题相结合的应用问题，要求会结合题意求出函数的表达式， 会求出符合题意的相关的变量. 9．【答案】B f  x2   f  x1  0 对任意的 x1，， x2 � 0  � , x1 �x2 恒成立， x2  x1 【解析】∵ f  x ∴ 又 在  0， � 上是减函数， f  2  0 ， ∴当 x  2 时， 又 ∴ f  x f  x  0 ，当 0 �x  2 时， 是偶函数，∴当 x  2 时， xf  x   0 的解为 0 U 2  2，，  � f  x  0 f  x  0 ， f