专题 02 双变量“存在性或任意性”问题（2） 【方法点拨】 不等问题 ①∀x1∈D, ∀x2∈E,均有 f(x1) >g(x2)恒成立,则 f(x)min> g(x)max； ② ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得 f(x1) >g(x2)成立,则 f(x)min> g(x) min； ③ ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得 f(x1) >g(x2)成立,则 f(x) max > g(x) min； 【典型题示例】 例1 已知函数 f(x)＝\f(1,2x2＋x，g(x)＝ln(x＋1)－a，若存在 x1，x2∈[0，2]，使得 f(x1)＞ g(x2) ，求实数 a 的取值范围. 【答案】a＞－4 【分析】问题可转化为 f(x)max>g(x)min，易得 f(x)max=4，g(x)min=－a，由 f(x) max > g(x) min 得： 4＞－a，故 a＞－4 即为所求. 点评： 存在性和恒成立混合问题注意理解题意，不等关系转化为最值的关系. 例2 已知函数 f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得 f(x1)≤g(x2)，则实数 a 的取值范围是________． 【答案】　 【解析】　依题意知 f(x)max≤g(x)max. ∵f(x)＝x＋在上是减函数，∴f(x)max＝f＝. 又 g(x)＝2x＋a 在[2,3]上是增函数，∴g(x)max＝8＋a， 因此≤8＋a，则 a≥. 点评： 理解量词的含义，将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max；利用函数的单调性，求 f(x) 与 g(x)的最大值，得关于 a 的不等式求得 a 的取值范围． 例3 设 a>0，函数 f (x)＝x＋，g(x)＝x－ln x＋4，若对任意的 x1∈[1，e]，存在 x2∈[1，e]， 都有 f (x1)≥g(x2)成立，则实数 a 的取值范围为___________． 【答案】 【分析】问题可转化为 f (x)min≥g(x)min，函数 g(x)不含参，易求得 g(x)min＝g(1)＝5，接下来的 思路有二，一是直接分类讨论求 f (x)min，二是将 f (x)min≥g(x)mi 转化为 f (x)＝x＋≥5 恒成 立，通过分离参数再解决 【解析】 问题可转化为 f (x)min≥g(x)min. 当 x∈[1，e]时，g′(x)＝1－≥0，故 g(x)在[1，e]上单调递增，则 g(x)min＝g(1)＝5. 思路一：又 f ′(x)＝1－＝，令 f ′(x)＝0，易知 x＝a 是函数 f (x)的极小值． 当 a≤1 时，f (x)min＝1＋a2，则 1＋a2≥5，不成立； 当 1<a≤e 时，f (x)min＝f (a)＝2a，则 2a≥5，得≤a≤e； 当 a>e 时，f (x)min＝f (e)＝e＋≥5 显然成立，得 a2>5e－e2，所以 a>e. 综上所述，实数 a 的取值范围为. 思路二：故有 f (x)min≥5，即 f (x)＝x＋≥5 恒成立，分离参数得 a2≥x（5－ x）， 易得[x（5－ x）]max= 25 ，又 a>0，故 a≥ 4 所以实数 a 的取值范围为． 例 4 已知函数 f (x)＝x2－2ax＋1，g(x)＝，其中 a>0，x≠0. (1) 对任意的 x∈[1,2]，都有 f (x)>g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围； 【解析】由题意知，f (x)－g(x)>0 对 x∈[1,2]恒成立，即 x2－2ax＋1－>0 对 x∈[1,2]恒成立， 即 a<对 x∈[1,2]恒成立，令 φ(x)＝，只需 a＜φ(x)min(x∈[1,2])． 由于 φ′(x)＝>0，故 φ(x)在 x∈[1,2]上是增函数， φ(x)min＝φ(1)＝，所以 a 的取值范围是. (2) 对任意的 x1∈[1,2]，存在 x2∈[1,2]，使得 f (x1)>g(x2)恒成立，求实数 a 的取值范围． 【解析】 由题意知 x2－2ax＋1>min＝，即 a<对 x∈[1,2]恒成立． 令 φ(x)＝，则 φ′(x)＝>0 对 x∈[1,2]恒成立， 则 φ(x)在[1,2]上是增函数，φ(x)min＝φ(1)＝， 所以 a 的取值范围是. 点评： 防止误将∀x∈D，均有 f(x) >g(x)恒成立，转化为 f(x)min> g(x)max，一般应作差构造函数 F(x)=f(x)－g(x)，转化为 F(x) min>0 恒成立. 【巩固训练】 1．已知函数 f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的 x1，x2∈[1,4]有 f(x1)>g(x2)恒成立， 则实数 m 的取值范围是________． 2．已知函数 f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得 f(x1)≥g(x2)，则 实数 m 的取值范围是________． 3. 已知函数 f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 a 的取值 范围是________． 4. (2018· 沙 市 区 校 级 期 中 ) 函 数 f(x) ＝ x3 － 12x ＋ 3 ， g(x) ＝ 3x － m ， 若 对 ∀ x1∈[ － 1,5]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数 m 的最小值是________． 5.（2019·南通、徐州等七市三检 ·13）已知函数 f(x)＝x2 －2x＋3a，g(x)＝.若对任意的 x1∈[0，3]，总存在 x2∈[2，3]，使得|f(x1)|≤g(x2)成立，则实数 a 的值为________． 【答案或提示】 1．【答案】(－∞，0) 【解析】f(x)＝x2 －2x＋3＝(x－1)2 ＋2，当 x∈[1,4]时，f(x)min ＝f(1)＝2，g(x)max ＝g(4)＝2＋ m，则 f(x)min>g(x)max，即 2>2＋m，解得 m<0，故实数 m 的取值范围是(－∞，0)． 2．【答案】 【解析】当 x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当 x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由 f(x)min ≥g(x)min，得 0≥－m，所以 m≥. 3.【答案】 (－∞，1] 【解析】由题意知，f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3])，因为 f(x)＝x＋，所以 f′(x)＝1－，所以 f(x)在上 单调递减，所以 f(x)min＝f(1)＝5，又因为 g(x)在[2,3]上的最小值为 g(2)＝4＋a，所以 5≥4 ＋a，即 a≤1. 4.【答案】14 【解析】由 f′(x)＝3x2－12，可得 f(x)在区间[－1,2]上单调递减，在区间[2,5]上单调递增， ∴f(x)min＝f(2)＝－13， ∵g(x)＝3x－m 是增函数，∴g(x)min＝1－m， 要满足题意，只需 f(x)min≥g(x)min 即可，解得 m≥14， 故实数 m 的最小值是 14. 1 5.【答案】  3