高二数学《考点 • 题型 • 技巧》精讲与精练高分突破系列 (人教 A 版选择性必修第二 册) 第四章：数列 4.3.2　等比数列的前 n 项和公式 【考点梳理】 考点一　等比数列的前 n 项和公式 已知量 求和公式 首项、公比与项数 Sn＝ 首项、公比与末项 Sn＝ 考点二　等比数列前 n 项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1 的等比数列(或公比为－1，且 n 不是偶数)，Sn 为其前 n 项和，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为 q 的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．若{an}是公比为 q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前 2n 项中，＝q； ② 在其前 2n＋1 项中，S 奇－S 偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 考点三：等比数列前 n 项和的实际应用 1．解应用问题的核心是建立数学模型． 2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型． 3．注意问题是求什么(n，an，Sn)． 注意： (1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答． (2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数 n 计算准确． (3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系． (4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求． 【题型归纳】 题型一： 等比数列前 n 项和公式的基本运算 189 1 1．（2021·江苏南通·高二期末）已知等比数列{an } 的前 6 项和为 4 ，公比为 2 ，则 a6  （ A． 73 8 B． 3 4 C． 3 8 D．24 2．（2021·河南商丘·高二期中（理））已知正项等比数列 S6  则 S2 （ ）  an  中， a2  2 ， a4  8 ，数列  an  an 2  的前 n 项和为 ） A． 32 B． 21 C． 16 D． 8 3．（2021·全国·高二课时练习）设正项等比数列  an  的前 n 项和为 Sn ，若 S2  3 ， a3  a4  12 ，则公比 q 等于（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：等比数列的判断和性质的应用 4．（2021·全国·高二课时练习）设等比数列  an  前 n 项和为 Sn，若 S3＝8，S6＝24，则 a10＋a11＋a12＝（ A．32 B．64 C．72 D．216 5．（2021·广西·田东中学高二期末（理））已知数列 a4  a5  a6  8 A．40 ，则 S12  （  an  是等比数列， Sn 为其前 n 项和，若 a1  a2  a3  4 ） B．60 C．32 D．50 S6 S4  3 6．（2020·四川·双流中学高二期中（理））设 S n 是等比数列  an  的前 n 项和，若 S 2 ，则 S 4 （ A． 2 B． 7 3 C． 3 10 D． 1或2 ） ） ， Sn ， 题型三：等比数列奇偶项和的性质 7．（2020·河南·高二月考（理））已知等比数列 60，则数列 A．30  an  的所有项之和是（ 共有 32 项，其公比 q3 ，且奇数项之和比偶数项之和少 ） B．60 C．90 8．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列 k（  an   an  中， D．120 a1  1 a1  a3  L  a2 k 1  85 ， ， a2  a4  L  a2 k  42 ，则 ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2021·全国·高二课时练习）已知一个等比数列首项为 1，项数是偶数，其奇数项之和为 85，偶数项之和为 170，则这个数列的公比和项数分别为（ ） A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8 题型四：等比数列中 an 与 Sn 的关系 10．（2021·全国·高二课时练习）记数列  an  的前 n 项和为 Sn ， Sn  2an  1 2020 A． 22020  1 S2020  （ ） 2021 �1 � 2 � C． � �2 � B． 22021  1 ，则 �1 � 2 � D． � �2 � n �1 � Sn  � � 1 a 11．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二月考（理））已知数列  n  的前 n 项和 �2 � ，那么数列  an  （ A．是等差数列但不是等比数列 B．或者是等差数列，或者是等比数列 C．是等比数列但不是等差数列 D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 12．（2020·江苏·高二专题练习）设数列 A． 63 B． 127  an  的前 n 项和为 C．128 Sn ，若 a1  1 ， Sn 1  2S n  1 D． 256 ，则 S6  （ ） ） 题型五：等比数列的简单应用 13．（2021·甘肃·西北师大附中高二期中（理））中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八 里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走， 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.那么请问此人前两天所走的里程为（ A．189 里 B．216 里 C．288 里 ） D．192 里 14．（2021·全国·高二课时练习）为全力抗战疫情，响应政府“停课不停学”的号召，某市中小学按照教学计划，开 展在线课程教学和答疑．某高一学生家长于 3 月 5 日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值 m 元的平 板电脑给学生进行网上学习使用，该平台规定：分 12 个月还清，从下个月 5 日即 4 月 5 日开始偿还，每月 5 日还 款，且每个月还款钱数都相等．若购物平台的月利率为 p ，则该家长每月的偿还金额是（ A． m 元 12 m  1 p C． 12 mp  1  p  12 mp  1  p  13 ） B．  1  p  12  1 元 12 元 D．  1  p  13  1 元 15．（2021·北京朝阳·高二期末）光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的 大小我们可以用光圈的 F 值表示，光圈的 F 值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的 F 值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的 2 倍，如光圈从 F8 调整到 F5.6，进 光量是原来的 2 倍.若光圈从 F4 调整到 F1.4，则单位时间内的进光量为原来的（ A．2 倍 B．4 倍 C．8 倍 D．16 倍 ） 【双基达标】 一、单选题 16．（2021·河南·高二期中（文）） A． 3 4 B． 或 3 12 Sn 为等比数列  an  的前 n 项和，且 3 C． 或 3 4 D． 17．（2021·河南商丘·高二期中（理））在正项等比数列  an  中， a5  项积为 Tn ，则满足 S n  a1  Tn n 的最大正整数 的值为（ A．11 B．12 C．13 D．14 18．（2021·江西·九江市第三中学高二期中（理））若 则 a12  a22  a32  L  an2  （ 12 ， 或 S2  6 ，则 a5 的值为（ 3 4 1 ， ， 的前 n 项和为 Sn ，前 n 2 a6  a7  3  an  ）  an  * 是等比数列，已知对任意 n �N ， a1  a2  L an  2n  1 C． 1 n D． (4  1) 3 4n  1 19．（2021·全国·高二课时练习）等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则 a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝（ C． ） 4n  1 B． 3 A．2n－1 1   4  ） ） 1 n1 2 B． (2 ) 3 A． (2n  1) 2 a3  3 n D． 3 1   2  n 3 1 1   4n (n �N  ) { a } a  1 20．（2021·江西·景德镇一中高二期中（文））已知数列 n 满足 1 ，若 an 1 an ，则数列 {an } 的 通项 an  （ 3 A． 4 n  1 ） 4 B． 3n  1 4n  1 C． 3 21．（2021·河南洛阳·高二期中（文））已知等比数列 ）  an  3n  1 D． 4 的前 n 项和为 Sn  a � 2n  b  1 a b ，则 4  4 的最小值为（ ， A．2 B． 2 2 C．4 22．（2021·全国·高二课时练习）在等比数列 A．32 B．16  an  中，已知 D．5 S4  2 ， C．35 S8  6 ， a17  a18  a19  a20  （ ） D．162 S2 m a2 m 5m  1 9  * a   S S m 1 ， 23．（2021·全国·高二课时练习）已知 n 是等比数列 n 的前 n 项和，若存在 m �N ，满足 m ， am 则 m 的值为( ) A．-2 B．2 C．-3 D．3 24．（2021·全国·高二课时练习）某人于 2020 年 6 月 1 日去银行存款 a 元，存的是一年定期储蓄，2021 年 6 月 1 日 将到期存款的本息一起取出再加 a 元之后还存一年定期储蓄，此后每年的 6 月 1 日他都按照同样的方法在银行取款 和存款．设银行定期储蓄的年利率 r 不变，则到 2025 年 6 月 1 日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ） B． a  1  r  5 元 A． a  1  r  4 元 25．（2021·江苏·高二单元测试）设 的前 n 项和 S n  n 2  5n  1 n �N*  A．