指数函数和对数函数复习测试题二 一．选择题（共 11 小题） 1．已知 a  20210.5 ， b  0.52021 ， c  log 2021 0.5 ，则 ( 　　 ) A． c  b  a B． c  a  b C． a  b  c D． a  c  b x 1 2 ． 已 知 函 数 y  2 的 图 象 与 函 数 y  f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x  y  0 对 称 ， 则 函 数 y  f ( x) 的反函数是 ( 　　 ) A． y  1  log 2 ( x) B． y   log 2 (1  x) C． y  2 x 1 D． y  2 x 1 �x 2  6 x  6, x�0 3 ． 设 函 数 f ( x)  � ， 若 互 不 相 等 的 实 数 ， ， 满 足 3x  4, x  0 x1 x2 x3 � f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x3 ) ，则 x1  x2  x3 的取值范围是 ( 　　 ) 11 A． ( ， 6) 3 1 8 B． ( , ) 3 3 C． ( 11 ， 6] 3 1 8 D． ( , ] 3 3 � | x 2  2 x |, x�0 f ( x )  � 4．已知函数 ，则函数 的零点个数为 　　 lnx, x  0 g ( x)  2 f ( f ( x)  1)  1 ( ) � A．7 B．8 C．10 D．11 | log 2 ( x  1) |, x �(1,3) � � f ( x )  �4 5．已知函数 ，则 的解个数是 　　 , x �[3, �) 2 � f ( x )  4 f ( x )  3  0 ( ) �x  1 A．4 B．3 C．6 D．1 4 3 1 6．如图所示，曲线是对数函数 f ( x)  log x 的图象，已知 取 ， ， ， ，则对应 a 3 3 5 2 a 于 C1 ， C2 ， C3 ， C4 的 a 值依次为 ( 　　 ) A． ， 3 4 3 1 4 1 3 ， ， B． 3 ， ， ， 3 5 2 3 2 5 C． 4 3 1 4 1 ， 3 ， ， D． ， 3 ， ， 3 5 2 3 2 3 5 7．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为 v Q （单位： m / s) ，鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q ．科学研究发现 与 log3 成正比．当 v 100 v  1m / s 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为 890．则当 v  2m / s 时，其耗氧量的单位数为 ( ) A．2670 B．7120 C．7921 D．8010 lnx  ax  1, x�b � 8．函数 f ( x)  �3 ，恒有零点的条件不可能是 　　 2 ( ) �x  3 x  (2  a ) x  1, x  b A． a0 ， b3 B． a0 ， b2 C． 二．多选题（共 6 小题） 1 9．已知 a  log3 ， b  log3 ， c  log3 ，则 ( 　　 ) a0 ， b�1 D． a0 ， be A． ab  a  b  b  c B． ac  b  c  bc C． ac  bc  b  c D． b  c  ab  a  b �  x 2  3 x, x  0 10．已知函数 f ( x)  � ，以下结论正确的是 　　 ( ) �f ( x  3), x�0 A． B． f ( x) [4 在区间 ， 6] 上是增函数 f (2)  f (2020)  4 6 C．若函数 y  f ( x )  b 在 (�,6) 上有 6 个零点 xi (i  1 ，2，3，4，5， 6) ，则 1 D．若方程 f ( x)  kx  1 恰有 3 个实根，则 k �( 1,  )U{1} 3 11．已知函数 f ( x)  A． B． f ( x) f ( x) C．函数 D．方程 |x| ，则 ( 　　 ) x 1 是奇函数 在 [0 f ( x) ， �) 上单调递增 的值域是 (�, 1)U[0 f ( x)  x 2  1  0 �) 有两个实数根 12．下列计算正确的是 ( 　　 ) 4 3 12 A． ( 3)  3 ， �x i 1 i 9 2 1 1 1 1 1 5 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) �( a 6 b 6 )  9a B． 3 ，a  0 ，b  0 C． 3 9 33 D．已知 x 2  x 2  2 ，则 x  x 1  2 三．填空题（共 7 小题） 13．已知 lg 6  a ， lg15  b ，试用 a ， b 表示 lg 48  　　． 14．函数 g ( x) 对一切实数 x ， y �R 都有 g ( x  y )  g ( y )  x( x  2 y  2) 成立，且 g （1）  0 ， f ( x)  2k x g ( x) ，若关于 的方程 f (| 2  1|)  | 2 x  1|  3k  0 有三个不同的实数解，则实数 x x k 的取值范围是　　． � ( x  1)e x , x�1, � 15．已知函数 f ( x)  �lnx 其中 为自然对数的底数．若函数 有3 x  1g � , g ( x )  f ( x )  kx x � e 个不同的零点，则实数 k 的取值范围是　　． x x 2 16．若关于 x 的方程 (e  mx)e  x 恰有一个实根，则实数 m 的取值范围是　　． 四．解答题（共 10 小题） 17．已知函数 f ( x)  x  m  2m  3 ，其中 为实数 m x （1）当 m  1 时，若 f ( x)  n  0 在区间 [1 ， 2] 上恒成立，求实数 n 的取值范围； x （2）是否存在实数 m ，使得关于 x 的方程 f (| 3  1|)  0 有三个不同的实数解？若存在， 求实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 18．某网店有（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品 x （万件），经市场调查测算，花 k 费 （万元）进行促销后，商品的剩余量 与促销费 之间的关系为 3  x  （其中 t 3 x t t 1 k 为常数），如果不搞促销活动，只能售出 1（万件）商品． （1）要使促销后商品的利余量不大于 0.1（万件），促销费 t 至少为多少（万元）？ （2）已知商品的进价为 32（元 / 件），另有固定成本 3（万元），定义每件售出商品的平 均成本为 32  3 （元 ) ，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的 1.5 倍“与“每件售出 x 商品平均促销费的一半”之和，则当促销费 t 为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润 最大？此时商品的剩余量为多少？ 2 19．已知函数 g ( x)  ax  2 x  1  b ，函数 g ( x) 有两个零点分别是 1 和 3． （1）若存在 x0 �[1 ， 3] ，使不等式 g ( x0 )  mx0�0 成立，求实数 m 的取值范围； x （2）记 f ( x)  g ( x)  3kx  2k ，若方程 f (| 2  1|)  0 有三个不同的实数解，求实数 k 的取 值范围． �x ( x  2a ), x�a 20．已知函数 f ( x)  � a ( x  1), x  a ，其中 a 为实数，且 a �0 ． � （1）当 a  1 时，求函数 f ( x) 的单调区间； （2）若方程 f ( x )  0 仅有一个实数根，求实数 a 的取值范围． 2 21．已知函数 f ( x)  x  2ax  9 ． x （Ⅰ）当 a�0 时，设 g ( x)  f (2 ) ，证明：函数 g ( x) 在 R 上单调递增； x （Ⅱ）若 x �[1 ， 2] ， f (2 )�0 成立，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）若函数 f ( x) 在 (3,9) 有两个零点，求实数 a 的取值范围． 22．已知函数 f ( x)  4ax  1 ． 2x （1）若 f ( x) 是偶函数，求 a 的值； 2 （2）当 a  4 时，若关于 x 的方程 f (2 x  4 x  3  a)  2 在 [1 ， 2] 上恰有两个不同的实 数解，求 a 的取值范围． 指数函数和对数函数复习测试题二 参考答案与试题解析 一．选择题（共 11 小题） 1．已知 a  20210.5 ， b  0.52021 ， c  log 2021 0.5 ，则 ( 　　 ) A． c  b  a B． c  a  b C． a  b  c D． a  c  b 【分析】利用指数与对数函数的单调性，即可得出大小关系． 【解答】解：Q a  20210.5  1 ， b  0.5 2021 �(0,1) ， c  log 2021 0.5  0 ， a  b  c ． 故选： C ． 【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． x 1 2 ． 已 知 函 数 y  2 的 图 象 与 函 数 y  f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x  y  0 对 称 ， 则 函 数 y  f ( x) 的反函数是 ( 　　 ) A． y  1  log 2 ( x) B． y   log 2 (1  x) C． y  2 x 1 D． y  2 x 1 【 分 析 】 设 P ( x, y ) 为 y  f ( x ) 的 反 函 数 图 象 上 的 任 意 一 点 ， 则 P 关 于 y  x 的 对 称 点 P� ( y, x) 一点在 y  f ( x) 的图象上， P� ( y, x) 关于直线 x  y  0