浙江省十校联盟 2021 年 10 月高三联考数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. M   x x 2  9 �0 ， N   x 2 x  4  0 ，则 M I N  （ 1. 已知集合 A.  �, 3 2. 已知复数 B.  3, � C. ）  3, 2  D.  1  i   a  i  为纯虚数，其中 a 为实数， i 为虚数单位，则 a  （ A. 1 B. -1 C. 2 � x �y �x 3. 若实数 ， y 满足不等式组 � x �x  1 �0 ，则 z  x  2 y 的最小值是（ A. -1 B. -2 C. -3  2,3 ） D. -2 ） D. 0 x2 y 2   1(a, b  0) 4. 已知双曲线 C ： a 2 b 2 的离心率为 e ，则“ e  2 ”是“曲线 C 为等轴双曲线”的（ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某几何体的三视图如图所示（单位： 4 A. 3 6. 函数 cm ），则该几何体的体积（单位： 7 B. 3 f ( x)  ln x x  sin x 的部分图象大致为（ C. 3 ） cm3 D. 4 ）是（ ） ） A. B. C. D. uuuu r uuuu r  � 0,1 AM   AC ABCD  A B C D AC 1， 1 1 1 1 ，点 M 是对角线 1 上的一点且 7. 如图已知正方体 ，则（ ） A. 当  1 2 时， AC1  平面 A1 DM 1  △ A DM C. 当 为直角三角形时， 1 3 8. 已知方程 A. 曲线 C x2  y2  4  y � x 关于直线 B. 曲线 C 的范围是 yx B. 当  1 2 时， DM / / 平面 CB1 D1 1  △ A DM D. 当 的面积最小时， 1 3 表示曲线 C ，则下面结论中正确的是（ ） 对称 y �2 且 x �2 C. 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 2 D. 曲线 C 所围成区域的面积小于 12 ln x  1, x �e � f ( x)  � 9. 已知函数 ax  b  ln x, 0  x  e 的最小值为 0， e 为自然对数的底数，则（ � A. B. a  0 a  0 ，都有 ，使得 b  1  ae b �1 �1 � a �� , �� C. ，都有 b  ln  ae  �0 �e � ） D. � 1� a �� 0, � ，使得 b  ln  2  ae  � e� �1 � 4 2 * a  10. 数列  a  满足 1 ， ，数列 �a �的前 项和为 S ，则（ n �n n n 3 an 1  1  an  an  n �N  A. 1  S 2021  2 B. 2  S 2021  3 C. 3  S2021  4 D. 4  S 2021  5 ） 第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分） 二、填空题（本大题有 7 个小题，单空题每题 4 分，多空题每题 6 分，共 36 分） �x  1, x �1 11. 已知函数 f ( x)  � log 2 x, x  1 ，则 f  2   __________. � 12. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 1 到 100 这 100 个数中，能被 2 除余 1 且被 3 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列， 构成首项为 1 的等差数 列  an  ，则此数列的项数为__________. 13. 已知多项式 ( x  2) 2 � ( x  1)3  x 5  a1 x 4  a2 x 3  a3 x 2  a4 x  a5 ，则 a1  __________， a2  a3  a4  __ ________. 14. 已知 △ ABC 上一点，且 中，角 AD  2 DB A ， ，设 B ， C a b c 所对的边分别是 ， ， ，已知 �ACD   ，则 tan   __________， a2 CD  ， b 1 ， C  90� D ， 是边 AB __________. 2 15. 一个袋中共有 10 个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 5 ；从 7 袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 9 ，则白球的个数为________，现采用有放回方式从袋中 依次任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为  ，则 E  __________. x2 y2   1( a  b  0) 16. 已知椭圆 a 2 b 2 的焦点 F1  c, 0  ， F2  c, 0   c  0  ，过右焦点 F2 的直线 l 与圆 x2  y 2  b2 相切于点 P ，与椭圆相交于 A ， B 两点，点 A 在 x 轴上方，且切点 P 恰为线段 AF2 的中点，则 l 椭圆的离心率为________，直线 的斜率为__________. r r r r r r r r u a  b  2 c 17. 已知空间向量 a ， b ， c 两两的夹角均为 60� ，且 ，  6 .若向量 x ， y 分别满足 r r r r r u r u r r x �x  a  b  0 与 y � x  y c  8  0 ，则 的最小值是__________.   三、解答题（本大题有 5 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） � � f ( x)  2sin x � cos �x  � 18. 已知函数 . � 3� � � f� � （Ⅰ）求 � 12 �的值； （Ⅱ）已知 m  3 1 � �  � ，求实数 的范围. m, �，都有 f ( x)  ，若对任意 x �� 2 2 � 4� m 4 19. 如图，在三掕柱 （Ⅰ）证明： ABC  A1 B1C1 AD  BB1 （Ⅱ）已知四边形 ； BB1C1C 是边长为 2 的菱形，且 20. 已知各项均为正数的数列 （Ⅰ）求 BB C C  中， AB  AC  2 ， D 为 BC 的中点，平面 1 1 平面 ABC . �B1 BC  60� ，求直线 AA1 与平面 AC1 D 所成角的正弦值.  an  的前 n 项和满足 Sn  1 ，且 6Sn   an  1  an  2  ， n �N * .  an  的通项公式； （Ⅱ）设数列  bn  满足 21. 已知动点 P  x, y  an  2bn  1  1 ，并记 Tn 为  bn  的前 n 项和，求证： Tn  1  log 2  an  3 ， n �N * . 到点 F  1, 0  （Ⅰ）求点 P 的轨迹 L 的方程； 与到直线 x  1 的距离相等. （Ⅱ）设 且 M  x0 , y0   y0 �0  MA  MB ，记直线 MA 的斜率为 （i）试用 k 的代数式表示 （ii）求 在曲线 L 上，过 M 作两条互相垂直的直线分别交曲线 L 异于 M 的两点 A ， B ， △ MAB S 面积 y0 a2 时，设 . ； 的最小值. 22. 已知 a  0 且 a �1 ，函数 （Ⅰ）当 k  k  0 f ( x) f ( x)  x a  a x  x  0  的导函数 f '( x) ，求 . f '( x ) 的单调区间； m, n  m  n  0  . （Ⅱ）若函数 y  f ( x) 恰有两个互异的零点 （i）求实数 a 的取值范围； （ii）求证： mn  e 2 . 浙江省十校联盟 2021 年 10 月高三联考 数学参考答案 一、选择题： 1-5：DAACB 6-10：DDCCB 二、填空题 17 11. 1 12. 17 3 15. 5， 2 13. -1，2 5 14. 4， 3 1 16. 3 ，-2 17. 3 18. 解： � � �1 3 � cos �x  � 2sin x � � （1） f ( x )  2sin x � �2 cos x  2 sin x � � � 3� � � 1 3 3 � � 3  sin 2 x  cos 2 x   sin � 2 x  � 2 2 2 3� 2 ， � 所以 3 1 � � � � 3 f � � sin �  �  12 � 2 . � �6� 2 � 1 �  � f ( x)  3 �1 � sin � 2 x  �� ， � ， 2 2 3� 2 � � 4� � m, （2） x �� ∵ 2x   �  �   �� 2m  , �   �2m     � m  3 � 3 6 �，∴ 6 3 6 ，∴ 12 4. 19.【解析】 （1）证明：因为 所以 AD  BC 又因为平面 且平面 BB1C1C I D 是 BC 的中点， 平面 ABC ， 平面 ABC  BC ， AD �平面 ABC ， BB1C1C AD  BB1 ， ， BB1C1C  故 AD  平面 所以 AB  AC  2 ， . （2）【解法一】 因为四边形 则 B1 D  BC 又因为平面 故 BB1C1C B1 D  为菱形，且 �B1 BC  60� ，连接 B1 D ， ， BB1C1C  平面