2022 年 1 月高三级质检试题 数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每题所给的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． b  1. 若  a  3i  i  b  2i ，其中 a， b �R ， i 是虚数单位，则 a （ A.  3 2 3 B. 2 ） 2 C. 3 D.  2 3 【答案】B     已知集合 A  x 2  x  2 ， B  x x  x  2  0 ，则 A I B 等于（ 2 2 . A.  x 2  x  1 B.  x 2  x  2 C.  x x  2 或 x  1 D.  x 1  x  2 ） 【答案】A �A  60� , �B  45� , BC  3 2 ，则 AC  （ 3. VABC 中，若 A. 4 3 B. 2 3 C. ） 3 【答案】B 4. 已知 a∈R，则“a＞1”是“ 1 ＜1”的（ a ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 5. 函数 f ( x)  ln | x |  cos x 的部分图象大致为（ ） 3 D. 2 A. B. C. D. 【答案】C 1 6. 将正弦函数图象上各点的横坐标缩短为原来的 4 ，纵坐标不变，得到函数 y  f  x  的图象．则 f  x  图象的一个对称中心为（ � �  ,0 � A. � �4 � ） � �  , 0� B. � �8 � � � ,0 � C. � �8 � �3 � ,0� D. � �8 � 【答案】A 2 PF  4 7. 已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C : y  4 x 的焦点，P 为 C 上一点，若 ，则点 F 到直线 PO 的 距离为（ ） 7 A. 3 B. 2 3 C. 7 D. 2 7 7 【答案】D 8. 在制作飞机的某一零件时，要先后实施 6 个工序，其中工序 A 只能出现在第一步或最后一步，工序 B 和 C 在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有（ ） A. 34 种 B. 48 种 C. 96 种 D. 144 种 【答案】C 二、选择题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．在每题所给的四个选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有错选的得 0 分． 9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到 如下频率分布直方图（如图）： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6% B. 该地农户家庭年收入的中位数约为 7.5 万元 C. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 D. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 【答案】ABC � π� 0, � � 10. 下列四个函数中，以 π 为周期且在 � 2 �上单调递增的偶函数有（ ） A. y  cos 2 x B. y  tan x C. y  sin x D. y  lg sin x 【答案】BD 11. 下列说法正确 的 是（ A. 已知直线 B. 直线 C. 圆 ） l1 :  k  3 x   4  k  y  1  0 kx  y  k  0 与圆 x2  y 2  2x  4 y  3  0 x2  y2  2 上到直线 与 l2 : 2  k  3  x  2 y  3  0 平行，则 k 的值是 3 的位置关系为相交 x  y 1  0 的距离为 2 的点共有 3 个   2 2 D. 已知 AC、BD 为圆 O : x  y  4 的两条相互垂直的弦，垂足为 M 1, 2 ，则四边形 ABCD 的面积的 最大值为 10 【答案】BC 12. 在菱形 ABCD 中， AB  2 3 ， �ABC  60� ，将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折成大小为   0�   180�  的二面角 B  AC  D ，则下列说法正确的是（ ） A. 四面体 ABCD 的体积的最大值是 3 3   C. 四面体 ABCD 的表面积的最大值是 63 3 B. 四面体 ABCD 中 BD 的取值范围是 3 2, 6 52 36  D. 当   60� 时，若折成的四面体 ABCD 内接于球 O，则球 O 的体积为 27 【答案】AD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． v r r r r v r r a  (0,1), b  2 a , b | a 13. 已知向量 满足 ， a 与 b 的夹角为 135� ，则  2b | ________． 【答案】 14. 已知 13 f  x   ln x  x 2 【答案】 ，则曲线 y  f  x 在 x  1 处的切线方程是______． y  3x  2 x2 y 2 a2   1 a  b  0 l : x     ，点 P  3,1 在直线 15. 已知椭圆 a 2 b 2 c （c 为椭圆的半焦距）上，过点 P 且 斜率  5 2 的光线，经直线 y  2 反射后通过椭圆的左焦点 F1 ，则椭圆的离心率为______． 3 【答案】 3 16. 数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现 的 莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法： 先画等边三角形 ABC，再分别以点 A、B、C 为圆心，线段 AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所 示）．若莱洛三角形的周长为 【答案】 2 ，则其面积是______． 2  2 3 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设数列  an  的前 n 项和为 S n ，满足 （1）求数列 （2）设  an  的通项公式； bn  an � log 2 an ，求  bn  的前 n 项和 Tn ． 【答案】（1） （2） Sn  2an  a1  n �N*  ，且 a1  2 ． an  2n Tn   n  1 � 2n 1  2 18. 如图，在四棱锥 P  ABCD BC  CD  AD  2 ， AB  4 中，PD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是等腰梯形， ，M，N 分别是 AB，AD 的中点． （1）证明：平面 PMN⊥平面 PAD； AB //DC ， （2）若二面角 C  AB  P 的大小为 60°，求四棱锥 P  ABCD 的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2） 3 3 . 19. 某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分 120 分．现从全市学生中随机抽查了 10 名学生 的 成绩，分别为 78，81，84，86，86，87，92，93，96，97． （1）已知 10 名学生的平均成绩为 88，计算其中位数和方差； （2）已知全市学生学习成绩分布服从正态分布 N   ,  2  ，某校实验班学生 30 人． ① 依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在  94,100  的学生人数（结果四舍五入取整数）； ② 为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在  94,100  的学生参加预选赛，若每个学生通过 2 预选赛的概率为 3 ，用随机变量 X 表示通过预选赛的人数，求 X 的分布列和数学期望．（正态分布参考数 据： P      X       0.6828 【答案】（1）中位数为 86.5 ， ，方差为 P    2  X    2   0.9544 36 ） ； 8 （2）① 4；②分布列见解析，数学期望为 3 . 20. 已知函数 （1）若 f  x   2sin x cos x  3 cos 2 x  x �R  ． f   1  ��5 , 2 � � � �12 3 �，求 cos 2 的值； 2且  � � , � （2）记函数 f  x  在 � 4 2� �上的最大值为 b，且函数 f  x  在  a , b   a  b  上单调递增，求实数 a 的 最小值． 【答案】（1）  3  15 8 23 （2） 12 21. 已知椭圆 C: x2 y 2   1 a  0  的左焦点为圆 x 2  y 2  2 x  15  0 的圆心 A． a2 3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）与 x 轴不重合的直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 B，与椭圆交于 M、N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线交圆 A 交于 P、Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围． x2 y 2  1 【答案】（1） 4 3 � 12,8 3 （2） �  22. 已知函数 f  x   e x  mx 2  x  ， g  x   e x x 2  ax  a ln x  1 ． （1）若函数 f  x 在 x  1 处取得极大值，求实数 m 的值； f  x  �g  x  （2）当 m  1 时，若对 x  0 ，不等式 恒成立，求实数 a 【答案】（1） m 2 3 ；（2） a  1 . 的 值． 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。 登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。 试卷地址：在组卷网浏览本卷 组卷网（http://zujuan.xkw.com）是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题。 微信关注组卷网，了解更多组卷技能 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。 钱老师