厦门市 2020～2021 学年度高三年级第一次质量检测 数学试题 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分．考试时间 120 分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 z 满足  1  3i  z  10 A. 第一象限 ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ B. 第二象限 ） C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 2. 已知集合 A. A  { x | x  2  x  �0}  0, 4 B. ， B  {x | 5 �3  2 x �1} ，则 A U B  （  1, 4 C.  0, 2 【答案】A 3. “ x2  4 ”是“ 3x  9 ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B ） D.  1, 2 4. 已知 f  x 是定义在 R 上的奇函数，当 x �0 时， A. 2 f ( x)  log 2 ( x  2)  t ， f  6   （ ） C. 4 B. 2 D. 4 【答案】A 5. 铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存 三级，它的底座是近似圆形的，如图 1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就 可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用 10 块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体 砖块底面较长的边长为 1 个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为 36°，如图 2，则此近似圆形墙面内部所能 容纳最大圆的半径是（ ） 2 1 A. tan18� B. 2 tan18� 5  C.  D. 5 【答案】B 6. 已知某地居民在 2020 年“双十一”期间的网上购物消费额 ξ（单位：千元）服从正态分布 地某居民在 2020 年“双十一”期间的网上购物消费额在 附：随机变量 ξ 服从正态分布 0.9545， N (  , 2 ) ， P (      �   ) �0． 6827 P (   3   � +． 3 ) �0 9973 A. 0.9759 B. 0.8186  0,3 内的概率为（ N  2,1 ，则该 ） ， P (   2   �  2 ) � ． C. 0.73 D. 0.4772 【答案】B   f ( )  1 |  | ) f x  A cos(  x   )( A  0 ,   0   7. 函数 ， ，现将 f  x  2 的部分图象如图所示，且 2 � 5 �  , 的图象向左平移 4 个单位长度，得到函数 y  g  x  的图象，则 g  x  在区间 � 12 12 � � �上的值域是（ ） � 2� 1, � A. � � 2 � B. � 1, 2 � � � � 2 �  ,1� C. � 2 � � D. �  2,1� � � 【答案】D 8. 已知双曲线 C: x2 y 2   1(a  0, b  0) 2 2 2 a 2 b2 的中心为 O，圆 M : ( x  a )  y  b 与双曲线 C 的一条渐近线 uuuu r 1 uuuu r 2 uuur MQ  MO  MP 交于 P，Q 两点．若 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） 3 3 A. 65 8 B. 5 2 7 C. 30 5 D. 17 4 【答案】C 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． r r a  m , 2 b   4,3 ，下列说法正确 有（ ）   9. 已知向量 ， 的 4 r r B. 若 m  0 ，则 a 与 b 夹角的正弦值为 5 3 r r m A. 若 a // b ，则 8 3 r r m C. 若 a  b ，则 2 r r a D. 若  b  13 ，则 m  8 或 16 【答案】BD 10. 某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血 液中的含药量 y（微克）与时间 t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升 血液中含药量不少于 0.125 微克时，治疗该病有效，则（ ） A. a  3 B. 注射一次治疗该病的有效时间长度为 6 小时 1 C. 注射该药物 8 小时后每毫升血液中的含药量为 0.4 微克 31 D. 注射一次治疗该病的有效时间长度为 32 时 5 【答案】AD 11. 素数在密码学、生物学等方面应用广泛，下表为森德拉姆（Sundaram，1934）素数筛法矩阵： 4 7 10 13 16 19 … 7 12 17 22 27 32 … 10 17 24 31 38 45 … 13 22 31 40 49 58 … 16 27 38 49 60 71 … 19 32 45 58 71 84 … … … … … … … … 其特点是每行每列的数均成等差数列，如果正整数 n 出现在矩阵中，则 2n +1 一定是合数，反之如果正整 数 n 不在矩阵中，则 2n +1 一定是素数，下面结论中为真命题的有（ A. 第 4 行第 10 列 数为 94 的 B. 第 7 行的数构成公差为 15 的等差数列 C. 592 不会出现在此矩阵中 D. 第 10 列中前 10 行的数之和为 1255 ） 【答案】ABD 12. 已知函数 x3 A. ，且  f ( x)  x1  x2  x3 1 2 ln( x) x  2m h( x)  g ( f ( x))  g ( x)  2 ， x 3x ，若函数 m 有 3 个不同的零点 x1 ， x2 ， ，则 f ( x1 )  f ( x2 )  2 f ( x3 ) 2 e 的取值可以是（ ） 1 C. e 2 B. e D.  1 e 【答案】CD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 4 3  13. 已知 a  0 ， b  0 ， a  3b  2 ，则 a b 的最小值为__________． 25 【答案】 2 14. 有 8 名大学生到甲、乙、丙三所学校去支教，每名大学生只去一所学校，若甲学校需要 2 名，乙学校 需要 2 名，丙学校需要 4 名．则不同安排方法的种数为__________．（用数字作答） 【答案】420 15. 已知直线 y  x  4 与抛物线 y 2  12 x uuu r uuu r FA � FB  相交于 A，B 两点，抛物线的焦点为 F， __________． 【答案】 83 16. 已知三棱锥 A  BCD 的四个顶点 A，B，C，D 均在球 O 的球面上， AB  AC  AD ， △ BCD 是边 长为 4 的等边三角形，M，N 分别是 AB ， BC 的中点， DM  MN ，则 AB  __________，球 O 的表面 积是__________． 【答案】 ①. 2 2 ②. 24 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在① S n 1  S n  1 ，② 4 S n  1 是 2n +1 与 an ，的等比中项，③ 4 Sn   1  an  2  an  0  这三个 条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 问题：已知数列  an  的前 n 项和为 S n ， a1  1 ，且满足__________，若 b1  b2  L  bn  9 19 成立的最小正整数 n． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择见解析；使原不等式成立的最小正整数为 10． 18. 已知 a，b，c 分别为 VABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 sin 2 B  sin 2 C  sin 2 A  2 3 sin A � sin B sin C ． 3 （1）若 b  3c ， VABC 的面积为 3，求 b 与 c； （2）若 sin B  sin C  6 2 ，求 C． bn  1 an an 1 ，求使不等式 【答案】（1） c  2 ， b  2 3 ；（2） C 7  C 12 ． 12 或 19. 国际学生评估项目（PISA），是经济合作与发展组织（OECD）举办 ，该项目的内容是对 15 岁学 的 生的阅读、数学、科学能力进行评价研究．在 2018 年的 79 个参测国家（地区）的抽样测试中，中国四 省市（北京、上海、江苏、浙江作为一个整体在所有参测国家（地区）取得全部 3 项科目中第一的好成绩， 某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试的中国学生中随机抽取了 200 名参赛选手进行调研，得 到如下统计数据： 成绩优秀 成绩一般 总计 家长高度重视学生教育 90 x y 家长重视学生教育度一般 30 z  总计 120 80 200 4 若从上表“家长高度重视学生教育”的参测选手中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般”的选手的概率为 13 ． （1）判断是否有 99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关； （2）现从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取 20 人．进行“家长对学生情感支持”的调查，再从这 20 人中抽取 3 人进行“学生家庭教育资源保障”的调查．记进行“学生家庭教育资源保障”调查中抽取到“家长 高度重视学生教育”的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望． n(ad  b