2021~2022 学年第一学期高三期末考试 数学试题（理科） （时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项 1.答题前，考生务必将自己的学校､姓名､班级､准考证号填写在答题卡相应的位置. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案用 0.5 毫米及以上 黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1.已知集合 A.  1, 0  2.已知复数 1 A.0 B. 2 A   x∣ 2 x  1 , B   x∣ x 2  5 x  6  0 ，则 A �B 等于（ B. z  0,1 C.  0, 6  ②  6,1 1 i  2i （ i 为虚数单位），则 z 等于（ 1 i C.1 D. 2 3.下列命题中，真命题有（ ① D. x �R,e x  x  1�0 x0  0, lnx0  ； 1 �2 ； lnx0 ） ） ） ③ 若命题 p �q 是真命题，则 �p 是真命题； ④ y  2 x  2 x A.4 个 是奇函数. B.3 个 x C.2 个 2 4.已知双曲线 a 2  D.1 个 y   1( a  2) 的两条渐近线的夹角为 3 ，则 a 的值为（ 2 2 6 ） 6 A. 3 C. 3 或 6 B. 6 D. 2 3 5.下午活动时间，全校进行大扫除，某班卫生委员将包括甲､乙在内的 6 位同学平均分成 3 组，分别派到 3 块 班级管辖区域清理卫生，问甲､乙被分到同一个管辖区域的概率为（ 1 A. 6 1 B. 5 1 C. 4 ） 1 D. 3 6.中国的 5G 技术领先世界， 5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： 受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度 C 取决于信道带宽 W � S� C  Wlog 2 � 1 � � N �.它表示：在 ，信道内信号的平均功率 S ，信道内部的高 S 斯噪声功率 N 的大小，其中 N 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的 1 可以忽略不计.按照香农 S 公式，若带宽 W 增大到原来的 1.2 倍，信噪比 N 从 1000 提升到 16000，则 C 比原来大约增加了（ lg2 �0.3 A. 32% ） B. 7.已知数列 43% C. 54% D. 68%  an  为等差数列， Sn 为其前 n 项和，若 a4  a7  8, S11  55 ，则 S9 等于（ A.27 B.25 8.已知  1  ax  (1  x)5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a 等于（ A. 4 ）（附： B. 3 C.20 C. ） D.10 2 D. ） 1   f x  1  f  3x     0 有三个不同的实数解，则 9.已知 f  x  是奇函数并且是 R 上的单调函数，若方程 3 实数  的取值范围为（ ） A.  3,1 B.  �, 1 � 3, � C.  1,3 D.  �, 3 � 1, � 10.若点 P 是圆 A.5 B.6 C : ( x  3) 2  ( y  2)2  1 C. 3 2  1 11.如图，已知抛物线 则 PM � QN A.1 B.2 D. C.4 y  kx  1 距离的最大值为（ ，圆 C : x2  y2  2 x  0 ，过 C 点的直线 l 与抛物线和圆依次交于 为 8 时，则三棱锥 8 B. 3 SVPBC 的面积为 P  ABC 16 C. 3 ，满足 SVABC � SVOBC  SV2PBC 外接球的体积为（ ，当 ） 32 D. 3 r r r r r r r a  1, b  1, 3 , b  a  a 13.已知 ，则向量 a 与向量 b 的夹角为__________.  y  2x  a  是函数  y  x  lnx SVABC ,VOBC 的面 VPAB,VPBC ,VPAC 的面积之和的最大值 二､填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 14.若直线 ， D.8 SVOBC ,VPBC 4 A. 3 P, M , N , Q ） 12.已知三棱锥 P  ABC 的顶点 P 在底面的射影 O 为 VABC 的垂心，若 VABC 的面积为 积为 ） 1  10 y2  4x 等于（ 上任一点，则点 P 到直线 的图象在某点处的切线，则实数 a __________. �  � , � 15.已知函数 f  x   sin x  3cos x (  0) ，且在 � �3 2 �上单调递增，则满足条件的  的最大值为____ ______. 16.若数列  an  满足 an 1  (1) n an  2n 1  n �N*  ，令 S  a1  a3  a5  L  a19 , T  a2  a4  a6  L  a20 ， T  则 S __________. 三､解答题：共 70 分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都应该作答.第 22､23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17.（本小题满分 12 分） 在 VABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，且 2bcosC  2a  c . （1）求角 B 的大小； （2）若 ① BD b  2 3, D 为 AC 边上的一点， BD  1 ，且__________，求 VABC 的面积. 是 �B 的平分线；② D 为线段 AC 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作 答）. 18.（本小题满分 12 分） 如图所示，点 的直径， PD （1）证明： P 在圆柱的上底面圆周上，四边形 为圆柱的母线，且 AD  PC ； PD  3 ABCD 为圆柱下底面的内接四边形，且 ，圆柱的底面半径为 1. AC 为圆柱下底面 uuur uuu r � AD  2, B Q PQ  2 QB B  AC  Q 的余弦值. （2） 为 AC 的中点，点 在线段 PB 上，记 ，求二面角 19.（本小题满分 12 分） 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对 应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区 1000 名患者的相关信息，得到如下表格： 潜伏期（单位：天）  0, 2  2, 4  4, 6  6,8  8,10  10,12  12,14 人数 50 150 200 300 200 60 40 （1）求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数值 x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍 五入为整数）； （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过 8 天为标准 进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判 断，能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期 �8 天 潜伏期 50 岁以上（含 50） 50 岁以下 8 天 总计 100 65 总计 200 （3）以这 1000 名患者的潜伏期超过 8 天的频率，代替该地区 1 名患者潜伏期超过 8 天的概率，每名患者的 潜伏期是否超过 8 天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 名患者，其中潜伏期超过 8 天的人数 最有可能（即概率最大）是多少？ 附： K2  n(ad  bc) 2  a  b   c  d   a  c   b  d  ，其中 n  a  b  c  d . P  K 2�k 0  0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C: x2 y 2 1  2  1( a  b  0) e 2 的离心率 2 ，椭圆上的点与左､右顶点所构成三角形面积的最大值为 a b 2 3. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设过椭圆 C 右焦点的直线 G, H ，线段 EF 与 GH l1 , l2 的斜率分别为 的中点分别为 M,N k1 , k2 .判断直线 ，满足 MN k1 � k2  2, l1 交 C 于点 E, F l ， 2 交 C 于点 是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点， 请说明理由. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 f  x   e x  2ax  1, g  x   2aln  x  1  4ax, a �R （1）求函数 f  x （2）若对任意的 . 的单调区间； x � 0, � , f  x   g  x  �x 恒成立，求实数 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分 10 分） �x  2t 2 � 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 �y  4t （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为 � �  sin �   � 3 2 . 极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 � 4� （1）写出 C1 的