2020 年高考数学（5 月份）模拟试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1．设集合 A＝{﹣ 1，1，i3}，B＝{x∈C|x2+1＝0}（其中 i 为虚数单位，C 为复数集合）， 则 A∩B＝（　　） A．{1} B．{﹣i} C．{i} D．{﹣ 1，1} 2．若 sinα+cosα＝1（0＜α＜π），则 3sinα﹣ cosα＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．3 3．已知实数 a 满足：a2﹣ 1≤0．命题 P：函数 y＝x2﹣ 4ax﹣ 1 在[﹣ 1，1]上单调递减．则 命题 P 为真命题的概率为（　　） A． 1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 3 4 4．中国气象局规定：一天 24 小时里的降雨的深度当做日降水量，表示降水量的单位通 常用毫米．1 毫米的降水量是指单位面积上水深 1 毫米．在连续几天的暴雨天气中， 某同学用一个正四棱柱形的容器来测量降水量．已知该正四棱柱的底面边长为 20cm，高 40cm，该容器的容器口为上底面正方形的内切圆，放在雨中，雨水从圆形 容器口进入容器中，24 小时后，测得容器中水深 10cm，则该同学测得的降水量约为 （π 取 3.14）（　　） A．12.7 毫米 B．127 毫米 C．509 毫米 D．100 毫米 5．已知数列{an}满足 an+1﹣ 2an＝3，a1＝1，bn＝an+3，则 b10＝（　　） A．29 B．310 C．2048 D．1024 6．已知圆 C：x2+（y+2） 2＝2，则在 x 轴和 y 轴上的截距相等且与圆 C 相切的直线有几 条（　　） A．3 条 B．2 条 C．1 条 D．4 条 7． 已 知 双 曲 线 的 方 程 为 → x 2− y2 =1 ， 右 焦 点 为 F， 直 线 l： y＝ x+1 与 双 曲 线 交 于 2 → A，B 两点，则 FA ⋅FB =¿ （　　） A．2 ❑ √3 B．1 −❑√ 3 8．已知 x，y 满足约束条件 A．[0，7] { 2 x− y −1≤ 0 x+ y+1 ≥ 0 y≤1 C．﹣2 ) ❑ √3 D．4﹣2 ❑ √3 ，则 Z＝|x﹣ 3y﹣ 2|的取值范围是（　　） B．（1，7） C．[0，4] D．[1，4] 9 ． 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 P 为 正 方 体 表 面 上 的 一 个 动 点 ， 且 总 有 PC⊥BD1，则动点 P 的轨迹的长度为（　　） A． 3 π 4 B．4π 10．设函数 f（x）＝sin（ωx ❑ √2 C．3 D．4 ❑ √2 −π 5π 5π ）（ω∈N*）在[ ， 6 12 6 ]上单调递减，则 ω 的值是（　　） B．1 或 2 A．1 C．3 D．2 11．已知 F1（﹣c，0）、F2（c，0）是双曲线 C： x2 y 2 − 2 =1 的左、右焦点， F1 关 2 a b 于双曲线的一条渐近线的对称点为 P，且点 P 在抛物线 y2＝4cx 上，则双曲线的离心 率为（　　） ❑ A． ❑ √ 2+ 1 B．2 12．已知函数 f（x） ¿ 0＜ x ＜ e {¿lnx∨， −x+ e+1 ， x ≥ e ) C． ❑ √5 D． √ 5+1 2 ，若存在 0＜a＜b＜c，使得 f（a）＝ f（b）＝f（c），则 Z＝a+b+c 的最小值为（　　） ❑ √ 3−ln √ A． ❑ C． ❑ ❑ √ 5−ln √ 3+1 +e +1 2 B．1 5+1 +e +1 2 D．无最小值 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中对应题号 后的横线上） 13 ． 已 知 一 组 关 于 （ x ， y ） 的 数 据 具 有 线 性 相 关 性 ： （ 0 ， 0.9 ） ， （ 1 ， 1.9 ） ， （ 3 ， 3.2 ） ， （ 4 ， 4.4 ） ， 且 y 与 x 之 间 的 回 归 方 程 为 ̂̂ ̂̂ y =b x +¿ 1 ， 则 b ＝ ． 14．设 x＝θ 是函数 f（x）＝3sinx﹣ cosx 的一个极值点，则 sin2θ+2cos2θ＝　 　． 15．在三角 形 ABC 中，角 A，B， C 的对边分别 为 a， b， c．若 a＝ bcosC+ccosA，且 → → CA ⋅CB =¿ 2，c＝2，则三角形 ABC 的面积为　 　． ❑ 16．在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB＝90°，满足 DC＝2，AB＝1，AD ¿ √ 3 ， 沿 BD 将三角形 BDC 折起，把 C 折到 P 点，使平面 PBD⊥平面 ABD，则三棱锥 P﹣ ABD 的外接球的表面积为　 　． 三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在全面建成小康社会的决胜阶段，让贫困地区同全国人民共同进入全面小康社会 是我们党的庄严承诺．在“脱真贫、真脱贫”的过程中，精准扶贫助推社会公平显得 尤其重要．若某农村地区有 200 户贫困户，经过一年扶贫后，对该地区的“精准扶贫” 的成效检查验收．从这 200 户贫困户中随机抽出 50 户，对各户的人均年收入（单位： 千元）进行调查得到如下频数表： 人均年收入 （0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10） [10，12] 频数 2 3 10 20 10 5 若人均年收入在 4000 元以下的判定为贫困户，人均年收入在 4000 元～8000 元的判 定为脱贫户，人均年收入达到 8000 元的判定为小康户． （1）用样本估计总体，估计该地区还有多少户没有脱贫； （2）为了了解未脱贫的原因，从抽取的 50 户中用分层抽样的方法抽 10 户进行调研． ① 贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的人数是多少？ ② 从被抽到的脱贫户和小康户中各选 1 人做经验介绍，求小康户中人均年收入最高 的一户被选到的概率． 18．已知数列{an}，前 n 项和为 Sn ¿ 3 2 −1 * 2 n 2 n（n∈N ）． （1）求数列{an}的通项公式； a （2）已知数列 bn ¿ 2 n +¿ lg an ，求其前 n 项和 Tn． an+1 19．如图所示，直角梯形 ABCD 中， AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，四边形 EDCF 为矩形，且平面 EDCF⊥平面 ABCD． （1）求证：DF∥平面 ABE； （2）若直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 45°，求三棱锥 F﹣ABE 的体积． 20．已知线段 AB 的长为 2，点 A 与点 B 关于原点对称，圆 M 经过点 A，B 且与直线 x+1 ＝0 相切． （1）求圆心 M 的轨迹方程； （2）直线 l 与 M 的轨迹交于不同的两点 C，D（异于原点 O），若 kOC+kOD＝2，判断 直线 l 是否经过定点若经过，求出该定点，否则说明理由． 21．已知函数 f（x）＝tex﹣ 3x2，其中 t∈R． （1）若函数 f（x）存在三个不同的零点，求 t 的取值范围； （2）若函数 f（x）存在三个不同的零点 a，b，c；且 a＜b＜c．求证：b+c＞4． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分． [选修 4-4： 坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 { x =❑√ 10 cosθ y=❑√ 6 sinθ ) （θ 是参数），在以 坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为： π √ 2 ρcos (θ+ )=8 ❑ 4 ． （1）写出曲线 C 的普通方程、直线 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 与 x、y 轴交于 A，B 两点；P 为曲线 C 上的一个动点，求三角形 PAB 的 面积的最大值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知 f（x）＝|x|+|2x﹣ 1|． （1）解关于 x 的不等式 f（x）＞4； （2）对任意的 x∈R 都有 f（x）+2x﹣a≥0 恒成立，求 a 的最大值． 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．设集合 A＝{﹣ 1，1，i3}，B＝{x∈C|x2+1＝0}（其中 i 为虚数单位，C 为复数集合）， 则 A∩B＝（　　） A．{1} B．{﹣i} C．{i} D．{﹣ 1，1} 【分析】先分别求出集合 A，B，然后结合交集的运算即可求解． 解：因为 A＝{﹣ 1，1，i3}＝{﹣ 1，1，﹣i}，B＝{x∈C|x2+1＝0}＝{﹣i，i}， 故 A∩B＝{﹣i}． 故选：B． 2．若 sinα+cosα＝1（0＜α＜π），则 3sinα﹣ cosα＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．3 【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求 2sinαcosα＝0， 结合范围 0＜α＜π，即可求解 cosα＝0，sinα＝1，从而计算得解． 解：∵sinα+cosα＝1， ∴（sinα+cosα） 2＝1+2sinαcosα＝1， ∴ 2sinαcosα＝0， ∵ 0＜α＜π， ∴ cosα＝0，sinα＝1， ∴ 3sinα﹣ cosα＝3． 故选：D． 3．已知实数 a 满足：a2﹣ 1≤0．命题 P：函数 y＝x2﹣ 4ax﹣ 1 在[﹣ 1，1]上单调递减．则 命题 P 为真命题的概率为（　　） A． 1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 3 4 【分析】先求出 a 的范围，再求出 P 为真命题对应的 a 的范围，即可求解结论． 解：因为 a2﹣ 1≤0⇒﹣ 1≤a≤1； 若 P 为真命题：则有对称轴 2a≥1⇒a ≥ 1 2 ； 1 2 1 ； ∴命题 P 为真命题的概率为： = 1−(−1) 4 1− 故选：A． 4．中国气象局规定：一天 24 小时里的降雨的深度当做日降水量，表示降水量的单位通 常用毫米．1 毫米的降水量是指单位面积上水深 1 毫米．在连续几天的暴雨天气中， 某同学用一个正四棱柱形的容器来测量降水量．已知该正四棱柱的底面边长为 20cm，高 40cm，该容器的容器口为上底面正方形的内切圆，放在雨中，雨水从圆形 容器口进入容器中，24 小时后，测得容器中水深 10cm，则该同学测得的降水量约为 （π 取