专题 01 椭圆及其标准方程 要点一　椭圆的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦 点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 【方法技巧】 1.对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解 (1)当动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点 M 的轨迹为椭圆； (2)当动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点 M 的轨迹为以 F1，F2 为两端点的线段； (3)当动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点 M 的轨迹不存在． 2．定义的双向运用 一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到 两焦点的距离之和为常数)． 要点二　椭圆的标准方程 标准方程 x2 y2  1 a2 b2 (a＞b＞0) y 2 x2  1 a2 b2 (a＞b＞0) 图形 焦点坐标 a，b，c 的关系 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2＝a2－b2 【方法技巧】 (1)椭圆的标准方程的推导，要充分利用椭圆的对称性，当且仅当椭圆的焦点在坐标轴上，且关于原点对称 时，椭圆的方程才具有标准形式． (2)在椭圆的标准方程的推导过程中，令 b2＝a2－c2 可以使方程变得简单整齐. 今后讨论椭圆的几何性质时， b 还有明确的几何意义，因此设 b>0. (3)椭圆的标准方程的形式是：左边是“平方”＋“平方”，右边是 1. (4)椭圆的焦点在 x 轴上⇔标准方程中含 x2 项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上⇔标准方程中含 y2 项的分母 较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置 看大小，焦点随着大的跑”． 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有 a2＝b2＋c2.(　　) (2)平面内到两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．(　　) (3)方程＋＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆．(　　) (4)设 F1(－4,0)，F2(4,0)为定点，动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点 M 的轨迹是椭圆．(　　) 【答案】（1）√（2）×（3）×（4）× 2．设 P 是椭圆＋＝1 上的点，若 F1，F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【解析】由椭圆方程知 a2＝25，则 a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.故选 D. 3．椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 20，则此椭圆 的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【答案】C 【解析】由题意知 c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.故选 C. 4．椭圆 8k2x2－ky2＝8 的一个焦点坐标为(0，)，则 k 的值为________. 【答案】－1 或－ 【解析】原方程可化为＋＝1.依题意，得即 所以 k 的值为－1 或－. 题型一　求椭圆的标准方程 【例 1】求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)两焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，且椭圆上任意一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)两焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，且椭圆经过点(－，). (3)经过 P1(，1)，P2(－，－)两点； (4)以椭圆 9x2＋5y2＝45 的焦点为焦点，且经过点 M(2，)． 【解析】(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝ 1(a>b>0)．又 c＝4,2a＝10，则 a＝ 5，b2＝a2－c2＝9.于是所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知： 2a＝＋＝2， 即 a＝，又 c＝2，∵b2＝a2－c2＝6，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. （3）解法一　①当焦点在 x 轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知，得⇒即所求椭圆的标准方程是＋＝1. ② 当焦点在 y 轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由已知，得⇒ 与 a>b>0 矛盾，此种情况不存在．综上，所求椭圆的标准方程是＋＝1. 解法二　设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)， 故⇒即所求椭圆的标准方程是＋＝1. (4)由题意，知焦点 F1(0,2)，F2(0，－2)，设所求椭圆方程为＋＝1(λ>0)， 将 x＝2，y＝代入，得＋＝1，解得 λ＝8 或 λ＝－2(舍去)．∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 【方法技巧】 1．利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求 a，b，c 的等量关系；(4)求 a，b 的值，代入所设方程． 2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括焦点在 x 轴上(m<n) 或焦点在 y 轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算． 【变式训练】 1.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【答案】D　 【解析】由题意可得解得，故椭圆的方程为＋＝1.故选 D. 题型二　与椭圆有关的轨迹问题 【例 2】已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的 轨迹为曲线 C，求 C 的方程． 【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)，半径 r1＝1；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3.设动圆 P 的圆心 为 P(x，y)，半径为 R.动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以，|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4 ＞|MN|＝2，由椭圆定义可知，曲线 C 是以 M、N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为的椭圆(左顶点 除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)． 【方法技巧】 1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为定义法． 2．对定义法求轨迹方程的认识 如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程， 这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重 要的解题方法． 3．代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点 P(x，y)与另一个已知曲线 C：F(x，y)＝0 上的动点 Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把 点 Q 的坐标用点 P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这 种求轨迹方程的方法叫做代入法(对称相关点法)． 【变式训练】 已知 P 是椭圆＋＝1 上一动点，O 为坐标原点，则线段 OP 中点 Q 的轨迹方程为________． 【答案】x2＋＝1 【解析】设 P(x0，y0)，Q(x，y)，由中点坐标公式得∴又∵点 P 在椭圆＋＝1 上，∴＋＝1，即 x2＋＝1. 题型三　椭圆的焦点三角形问题 探究 1 求椭圆焦点三角形的内角或边长 【例 3】(1)椭圆＋＝1 的两焦点为 F1、F2，一直线过 F1 交椭圆于 A、B 两点，求△ABF2 的周长； (2)椭圆＋＝1 的两焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若|PF1|＝6，求∠F1PF2 的大小． 【解析】(1)A，B 都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a. 又因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|， 所以△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a. 故△ABF2 的周长为 4×5＝20. (2)由＋＝1，知 a＝4，b＝3，c＝，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2， ∴cos ∠F1PF2＝＝，∴∠F1PF2＝60°. 【方法技巧】 关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式便可求出结果， 因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、 余弦定理等． 探究 2 求焦点三角形的面积 【例 4】已知点 P 是椭圆＋＝1 上的一点，F1，F2 分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2 的 面积． 【解析】由椭圆的标准方程，知 a＝，b＝2， ∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2. 又由椭圆的定义，知 |PF1|＋|PF2|＝2a＝2. 在△F1PF2 中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2， 即 4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°， 即 4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)． ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4. 【方法技巧】 若本题以小题形式出现，则也可用焦点三角形的面积公式速解；记∠F1PF2＝θ，则 S△F1P F2＝b2tan. 探究 3 几何最值问题 【例 5】已知椭圆 C：＋＝1 内有一点 M(2,3)，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆 C 上的一点，求： (1)|PM|－|PF1|的最大值与最小值； (2)|PM|＋|PF1|的最大值与最小值． 【分析】 (1)利用平面几何的知识即可找出最值点，求之即可；(2)利用椭圆的定义，将和的最值转化为差的最值解 决． 【解析】由椭圆方程知 a＝5，F1(－3,0)，F2(3,0)．由于三角形两边之差小于第三边，如图，连接 MF1 并延 长交椭圆于点 P1，则 P1 是使|PM|－|PF1|取得最大值的点，于是(|PM| －|PF1|)max＝|MF1|＝＝.|PM|－|PF1|＝－(| PF1|－|PM|)，则求|PM|－|PF1|的最小值，即求|PF1|－|PM|的最大值，延长 F1M 交椭圆于点 P2 ，则 P2 是使| PF1|－|PM|取得最大值的点，即|PM|－|PF1|取得最小值的点，于是(|PM|－|PF1|)min＝－|MF1|＝－. (2)由椭圆