2021-2022 学年高三上学期阶段性大联考一 理科数学试题 注意事项： 1．共 150 分，考试时长为 150 分钟。 2．答题前，考生先将姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一．选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一个是符合题目要求的)   1．已知集合 A  x x �2, x �Z , A． {2, 1,0,1, 2,3} B． {2, 1, 0,1, 2} 2．复数 z  A．3   B  x∣ x 2  x  6  0 ，则 A I B  （ C． {1,0,1, 2} 2i （ 为虚数单位），则 | z | 等于（ 1 i i B． 2 2 ） D． {2, 1, 0,1} ） D． 2 C．2 3．下列说法中正确的个数是（ ） （1）命题“所有幂函数 f (x)=x α 的图象经过点 （1,1 ） ”. （2）“在 中，若 sin A  sin B ，则 A  B ”的逆否命题是真命题. ⃗ （3）若非零向量满足 a ⋅ b⃗ > 0 ，则 ⃗a 与 ⃗b 的夹角为锐角. 4）命题“ x  0 ， 2020 x +2021>0 ”的否定是“ （ x0 �0 ， x 2020 +2021 ≤ 0 ”. 0 （5）命题“ a , b ∈ R 则 a2 +b 2 ≥ 4 是 |a|+|b|≥ 2 的充分不必要条件”. A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知函数 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，当 x ∈ [ 0,1 ] 时， f (x)=x 3 ，且 ∀ x ∈ R , f (x)=f (2 − x ) ， 则 f (2021. 5)=¿ （ A．  1 8 B． ） 1 8 C． D． 0 1 5．设 m 、 n 是两条不同的直线，  、  是两个不重合的平面，给定下列四个命题： ① 若 m  n ， n � ，则 m   ； ②若 a   ， a � ，则 a   ； ③ 若 m   ， n   ，则 m //n ； ④若 m � ， n � ，  // ，则 m //n . 其中真命题是（ A．①和② 6．函数 f  x   A． ） B．②和③ 2 ln x  1  x  1 2 的大致图像为（ B． C．③和④ D．②和④ ） C． D．  7．已知函数 f  x   sin 2 x  cos 2 x  1 ，若函数 f  x  的图象向左平移 个单位长度后得到 4 函数 g  x  的图象，则函数 g  x  的图象的一个对称中心为（ � �8 � � � �8 � � � �4 � �4 � � ） � � A． � , 0 � B． � ,1� C． � , 0 � D． � ,1 � 8．如图，已知正三棱柱 ABC  A1 B1C1 的各条棱长都是 1， M 是 BB1 的中点，则异面直线 AC1 与 CM 所成角的大小是（ A． 30∘ B． 45∘ C． 60∘ ） D． ∘ 90 cos  x  2 cos 2  x  1   0  的 9．已知函数 f  x   2 3 sin  x � 最小正周期为  ， 2 �� �时，函数 f  x  的值域是（ � 4� 0, 则 x �� A．  2,1 B．  2,2  ） C．  1,1 D．  1, 2 2 10．我们把 Fn  2  1 n  0,1, 2... 叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）， n 设 an  log 2  Fn  1 , n  1, 2,3... ， S n 表示数列  an  的前 n 项之和， 22 23 2n 1 63   ···   则使不等式 成立的最大正整数 的值是（ S1S2 S 2 S3 S n S n 1 127 n A． 5 B． 6 C． 7 ） D． 8 11．不等式 ax 2+5 x −7 a> 3− 2 x 2 对一切 a ∈ ( − 1,0 ) 恒成立，则实数 x 的取值范围是 （ ） A． ¿ ∪¿ B． ¿ ∪ ¿ C． ( − 4 , −1 ) 12．已知关于 x 的不等式 范围为（ �1 �e ( e λx +1 ) λx x+1 D． (− 4 , 12 ) > ln x 在 ( 0 ，+∞ ) 上恒成立，则实数 λ 的取值 ） � � A． � , �� B． � 1� � e� 0, � C． �  e, � D．  0, e  二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．) 13. 已知向量 , .若 14. 若 x，y 满足约束条件若函数 ,则实数 _______. 仅在点(1,0)处取得最小值，则 的取值范围为______ _. 15.据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈 f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)， 已知 3 月份达到最高量 9000，然后逐步降低，9 月份达到最低销售量 图2 5000，则 7 月份的销售量为_______. 16. 如图 2，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 4，一只小虫从圆锥 的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 P 处．若该小虫爬行 的最短路程为 4，则圆锥底面圆的半径等于_______. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17.(本小题满分 10 分)已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过 点 P(－，－ )． (1)求 sin (α＋π)的值； (2)若角 β 满足 sin (α＋β)＝，求 cos β 的值． 18.(本小题满分 12 分).已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]， (1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值； (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数． 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝. (1)试判断 f(x)在[1,2]上的单调性； (2)求函数 f(x)在[1,2]上的最值． 20.(本小题满分 12 分)已知 0<α<<β<π，且 sin (α＋β)＝，tan ＝. (1)求 cos α 的值； (2）求 sin β 21.(本小题满分 12 分)某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨， 同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为 120 吨(0≤t≤24)． (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的 24 小时内，有 几小时出现供水紧张现象． ax 22.(本小题满分 12 分）设函数 f ( x)  xe  bx ，曲线 y  f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程 为 y  (e  1) x  4 ， （I）求 a ， b 的值； （II）求 f ( x) 的单调区间. 理科数学答案 一、单选题 1．C 2．D 3．B 4．B 5．B 6．B 7．B 8．D 9．D 10．A 11．A 12．A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 14. (－4,2) 15.6000 16.1 17.[解析]　本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力． (1)由角 α 的终边过点 P(－，－)得 sin α＝－，所以 sin (α＋π)＝－sin α＝. (2)由角 α 的终边过点 P(－，－)得 cos α＝－， 由 sin (α＋β)＝得 cos (α＋β)＝±. 由 β＝(α＋β)－α 得 cos β＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α， 所以 cos β＝－或 cos β＝. 18.[解析]　(1)a＝－1，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， 因为 x∈[－5,5]，所以 x＝1 时，f(x)取最小值 1， x＝－5 时，f(x)取最大值 37. (2)f(x)的对称轴为 x＝－a；因为 f(x)在[－5,5]上是单调函数， 所以－a≤－5，或－a≥5，所以实数 a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 19.[解析]　(1)解法一：任取 x1，x2∈[1,2]，且 x1<x2， 则 f(x2)－f(x1)＝－＝ ＝， ＝ ∵x1，x2∈[1,2]，∴－2≤x2－3≤－1，－2≤x1－3≤－1， ∴1≤(x2－3)(x1－3)≤4，∴(x1－3)(x2－3)－9<0. 又 x2－x1>0，(x2－3)(x1－3)>0， ∴<0，即 f(x2)<f(x1)． ∴f(x)在[1,2]上为减函数． 解法二：∵f(x)＝， ∴f′(x)＝＝， ∵1≤x≤2，∴f′(x)<0，∴f(x)在[1,2]上为减函数． (2)由(1)知 f(x)在[1,2]上为减函数， ∴f(x)min＝f(2)＝＝－4，f(x)max＝f(1)＝＝－. 20.[解析]　(1)因为 tan ＝，所以 tan α＝＝，所以，α∈(0，)，解得 cos α＝. 另解：cos α＝cos2－sin2＝＝＝＝. (2)由已知得<α＋β<，又 sin (α＋β)＝， 所以 cos (α＋β)＝－＝－， 又 sin α＝＝， sin β＝sin [(α＋β)－α] ＝sin (α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝×－(－)×＝ 21.[解析]　(1)设 t 小时后蓄水池中的存水量为 y 吨， 则 y＝400＋60t－120， 令＝x，则 x2＝6t，即 t＝， 所以 y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，(构建二次函数) 所以当 x＝6，即 t＝6 时，ymin＝40， 即从供水开始到第 6 小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是 40