阿波罗尼斯圆及其应用 【概念证明】 1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点 A , B ，设 P 点在同一平面上且满 足 PA =λ , 当 λ> 0 且 λ ≠ 1 时， P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯 PB 圆（阿氏圆）。 （ λ=1 时 P 点的轨迹是线段 AB 的中垂线） PA   PB    0  证明： 如图，点 A, B 为两定点，动点 P 满足 ， 设 AB  2m  m  0  ，以 AB 的中点 O 为原点，以 AB 所在的直 线 为 x 轴建立直角坐标系.则有 A   m, 0  ， B  m, 0   x  m 又设 P  x, y  ，由 PA   PB    0  可得： 化简得：  2 ， 2  y2    x  m 2  y2  1 x 2  2m   2  1 x    2  1 y 2  m2  1   2  . 当   1 时， x  0 ，表示线段 AB 的中垂线； 2 �  2 1 � 2 4 2 m 2 x  m  y  � � 2 2 当 时 ， 上 式 可 化 为 �  1 �   2  1 ， 点  �1 P 的轨迹为以点 � 2  1 � m， 0 �为圆心，以 2 m 为直径的圆. �2  2 1 �  1 � 2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质 定理： A , B 为两已知点， P ,Q 分别为线段 AB 的定比为 λ( λ ≠1) 的内外分 点，则以 PQ 为直径的圆 O 上任意点到 A , B 两点的距离之比为 λ . 证 （以 λ>1 为例） 设 AB=a , AP= AP AQ = =λ ，则 PB QB λa a λa a , PB= , AQ= , BQ= 1+ λ 1+ λ λ−1 λ −1 . 由相交弦定理及勾股定理知 BC2 =PB ⋅BQ = 于是 BC= a2 λ2a2 2 2 2 , AC =AB + BC = , 2 2 λ −1 λ −1 a λa , AC= 2 , 2 √ λ −1 √ λ −1 AC =λ . BC 而 P ,Q , C 同时在到 A , B 两点距离之比等于 λ 的曲线（圆）上，不共线的三点所 确定的圆是唯一的，因此，圆 O 上任意一点到 A , B 两点的距离之比恒为 λ . 性质 1.当 λ>1 时，点 B 在圆 O 内，点 A 在圆 O 外； 当 0< λ <1 时，点 A 在圆 O 内，点 B 在圆 O 外。 2 性质 2.因 AC =AP ⋅AQ ， AC 是圆 O 的一条切线。 若已知圆 O 及圆 O 外一点 A ，可以作出与之对应的点 B , 反之亦然。 PQ  PB  BQ  性质 3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为 性质 4.过点 A 作圆 O 的切线 2a  2  1 ，面积为 π ( 性质 5.过点 B 作圆 O 不与 CD 重合的弦 EF , 则 AB 平分 ∠ EAF . 【学以致用 】 A (− c , 0) , B( c , 0)(c >0) 为 两 定 点 ， 动 点 P 到 点 A 的 距离与到点 B 的距离之比为定值 a(a>0), 求点 P 的轨迹. 当 a  1 时，点 P 的轨迹为 x  0 ； ) C CP, CQ 分别为 ∠ ACB 的 AC ¿ 为切点），则 内、外角平分线。 1.设 2 aλ . 2 λ −1 2 � a2  1 � 2 4a 2 c 2 x  c  y  � � 2 2 2 当 时，上式可化为 � a  1 � ，点 a  1   a �1 �a 2  1 � c， 0� 的轨迹为以点 �a 2  1 � � P 2ac 为圆心，以 a 2  1 为直径的圆. 2.圆 O 1 和圆 O 2 的半径都是 1， O 1 O 2=4 ，过动点 P 分别作圆 O 1 和 圆 O 2 的切线 M ,N PM=√ 2 PN ，试建立适当坐 PM , PN ¿ 分别为切点），使得 标系，求动点 P 的轨迹方程.（以 O1O2 的中点为原点，以 O1O2 所以直线为 x 轴 建立直角坐标系） PM 2  PO12  1  2 PN 2  2  PO22  1 可得点 P 的轨迹方程为  x  6   y 2  33 2 利用 3.已 知 两 定 点 A (− 2,0), B (1,0). 如 果 动 点 P 满 足 |PA|=2|PB| ， 则 点 P 的轨迹所围成的图形的面积是 4 . 4.满足条件 AB=2 , AC=√ 2BC 的 Δ ABC 面积的最大值是___________. （ 2 2） 这就是说 P, Q 分别是线段 AB 的内外分点，而 PQ 正是阿氏圆的直径，于是“阿 氏 5. 在 等 腰 Δ ABC 中 ， AB=AC , BD 是 腰 AC 上 的 中 线 ， 且 BD=√ 3 , 则 Δ ABC 面积的最大值是___________.（2） 6.已知 A (− 2,0) , P 是圆 一点 B ，使得 2 2 x+ 4 ¿ + y =16 上任意一点，问在平面上是否存在 C :¿ PA 1 = ? B 坐标；若不存在，说明理由. PB 2 若存在，求出点 （4，0） x+ 4 ¿ 2+ y 2 =16 变式：已知圆 ，问在 x 轴上是否存在点 A 和点 B ，使得对于 C :¿ 圆 C 上任意一点 P ，都有 PA 1 = ? A , B 坐标；若不存在，说明 PB 2 若存在，求出 理由. （-6，0），（-12，0）或（-2，0），（4，0） 7.在 Δ ABC 中， AB=2 AC , AD 是 ∠ A 的平分线，且 AD=kAC . � 4� 0, � k （1）求 的取值范围； � � 3� �2 10 � � � � （2）若 Δ ABC 的面积为 1，求 k 为何值时， BC 最短. � �5 � 8.已知圆 O : x 2  y 2  1 上的动点 M 和定点 值.  10  �1 � A�  ,0� , B  1,1 ，求 2 | MA |  | MB | 的最小 �2 �