大联考湖南师大附中 2021 届高三月考试卷 (二 ) 数学 一 ､ 单项选择题 1. 已知集合 A.   A   x x �2, x �Z  , B  x∣ x 2  x  6  0 ，则 A I B  （ {2, 1,0,1, 2,3} B. {2, 1, 0,1, 2} C. {1,0,1, 2} ） D. {2, 1, 0,1} 【答案】C 2. 若 A. z (1  i )  1  i 1 i ，则 z （ ） B. 1 i C. i D. i 【答案】C 3. 已知 sin 2  1 A. 6 2 � � cos 2 �   � � 4�（ ） 3 ，则 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 3 【答案】A 4. 刘徽(约公元 225 年-295 年)，魏晋期间伟大 数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提 的 出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代 极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形(如图所示)，当 n 变 得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到 ） sin 2o 的近似值为（ A. π 90 B. π 180 C. π 270 D. π 360 【答案】A 5. A. ( x 2  2)( 1  1)5 的展开式的常数项是（ ） x2 3 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】D “筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用 的 6. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中 算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算.算筹的摆放有纵式､横式两种(如图所示).当表示一个多位 数时，个位､百位､万位数用纵式表示，十位､千位､十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如 3266 用算筹表示就是 ，则 8771 用算筹应表示为（ A. B. C. D. ） 【答案】C 7. 对任意实数 a , b, c 的充要条件;③“ ab 给出下列命题:①“ ”是“ A. 1 a2  b2 ab ”是“ ac  bc ”的充分条件;④“ a5 B. 2 ”的充要条件;②“ ”是“ a3 a5 a 是无理数”是“ 是无理数” ”的必要条件.其中真命题的个数是(　　) C. 3 D. 4 【答案】B 8. 四棱锥 P  ABCD 的底面 ABCD 是矩形，侧面 PAD  平面 ABCD ， �APD  120� AB  PA  ， PD  2 ，则该四棱锥 P  ABCD 外接球的体积为（ 20 5 B. 3 32 A. 3 ） C. 8 6 D. 36 【答案】B 二 ､ 多项选择题 9. 甲､乙两所学校高三年级分别有 1200 人，1000 人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地 区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了 110 名学生的数学成绩，考生成绩 都分布在 [70,150] 正确的有（ 内，并作出了如下频数分布统计表，规定考试成绩在 [120,130)[130,140) [140,150] [90,100)[100,110) [110,120) 甲校频率数 3 4 8 15 15 x 3 2 乙校频率数 1 2 8 9 10 10 y 3 A. 计算得 内为优秀，则下列说法 ） [70,80)[80,90) 分组 [120,150] x  10, y  7 B. 估计甲校优秀率为 25%，乙校优秀率为 40% C. 估计甲校和乙校众数均为 120. D. 估计乙校的数学平均成绩比甲校高. 【答案】ABD 10. 函数 f ( x )  A sin( x   )( A  0,0     ) 的部分图象如图中实线所示，图中圆 C 与 于 M，N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是（ ） f ( x) 的图象交 � 3 �  ,  �上单调递增 2 � A. 函数 f ( x) 在 � � � 2 �  ,0� 图象关于点 � � 3 �成中心对称 的 B. 函数 f ( x) 5 5 x C. 函数 f ( x) 的图象向右平移 12 个单位后关于直线 6 成轴对称 D. 若圆半径为 3 � � 5 f ( x)  sin � 2x  � ，则函数 f ( x) 的解析式为 6 3� � 12 【答案】BD 11. 正方体 A1 BE ABCD  A1 B1C1 D1 .以下命题正确的有（ A. 侧面 B. 直线 C. 平面 CDD1C1 B1F 中，E 是棱 上存在点 F，使得 与平面 CDD1C1 的中点，F 在侧面 CDD1C1 上运动，且满足 B1 F / / 平面 ） B1 F  CD1 与直线 BC 所成角可能为 30 A1BE DD1 � 所成锐二面角的正切值为 2 2 5 D. 设正方体棱长为 1，则过点 E，F，A 的平面截正方体所得的截面面积最大为 2 【答案】AC 12. 如图，过点 P(2, 0) 作两条直线 x  2 和 l : x  my  2(m  0) 分别交抛物线 y 2  2x 于 A, B 和 C, D (其中 A, C A. 位于 x 轴上方)，直线 C, D AC , BD 两点的纵坐标之积为 B. 点 Q 在定直线 x  2 交于点 Q.则下列说法正确的是（ ） 4 上 C. 点 P 与抛物线上各点的连线中， PA 最短 D. 无论 CD 旋转到什么位置，始终有 �CQP  �BQP 【答案】AB 三 ､ 填空题 uuur CD  (2, 3) ，则点 D 的坐标为_________. 13. 如图所示，在平面直角坐标系中， 【答案】 (4,1) 14. 已知函数 a  ______. f  x  ln x  ax 2 ，若曲线 y  f  x  在  1, f  1  处的切线与直线 2 x  y  1  0 平行，则 x 1 【答案】 2  y 2 x2   1 a  0, b  0  15. 过双曲线 a 2 b 2 径的圆恰好过其上焦点 【答案】 F2 下焦点 F1 作 y 轴的垂线，交双曲线于 A, B 两点，若以 AB 为直 的 ,则双曲线的离心率为__________． 1 2 �  x  1 e x , x �1 � f x  16. 已知函数   �ln x , x  1 ，其中 为自然对数的底数.若函数 有 个不同的 � g x  f x  kx     �x 3 e k 零点，则实数 的取值范围是__________________. � 1 � 0, � 【答案】 � � 2e � 四 ､ 解答题 17. 在① (a  b) 2  c 2  3ab ，② a  3c sin A  a cos C ，③ (2a  b)sin A  (2b  a )sin B  2c sin C ， 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知 VABC c  3 ，而且_____. （1）求 �C ； （2）求 VABC 周长的最大值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】（1）条件选择见解析， C .  3 ；（2）最大值为 3 3 . 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ， 18. 如图 1，在 VABC 中， 得到如图 2 所示的三棱锥 AB  2 BC  2 2, �ABC  P  BCD ，二面角 P  BD  C 3 4 ，D 为 AC 的中点，将 △ ABD 沿 BD 折起， 为直二面角. （1）求证：平面 PBC  平面 PBD ； PC （2）设 E 为 的中点， uuu r uuu r CF  3FB ，求二面角 C  DE  F 的余弦值. 6 【答案】（1）证明见解析；（2） 3 . 19. 已知各项均为整数的数列  an  满足 a3  1 ， a7  4 ，前 6 项依次成等差数列， 从第 5 项起依次成等 比数列． （1）求数列  an  的通项公式； （2）求出所有的正整数 m ，使得 【答案】(1) 20. 设函数 （1）若 （2）若 am  am 1  am 2  am am 1am  2 ． ；(2) m= 1，或 m=3． f ( x )  ae x  cos x ，其中 a �R . x0 f ( x)  2 a 1 f ( x) ，证明：当 在区间 [0, ] 时， ； 内有两个不同的零点，求 a 的取值范围. � 2  34 e , e 【答案】（1）证明见解析；（2） � � 2 � � �. � 21. 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个 人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数 大于 2 的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； （Ⅱ）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 数学期望 ，求随机变量 的分布列与 . 8 1 148 E ( )  【答案】（1） 27 （2） 9 （3） 81 22. 已知点 P 是圆 Q : ( x  2) 2  y 2  32 上任意一点，定点 R (2, 0) ，线段 PR 的垂直平分线 l 与半径 PQ 相交于 M 点，P 在圆周上运动时，设点 M 的运动轨迹为  . （1）求点 M 的轨迹  的方程； x2 y 2  1 (顶点除外)上运动，过点 N，