第四章单元学情检测 考试范围：指数函数与对数函数 考试时间：120 分钟，满分 150 分 题号 一 二 三 四 总分 得分 第 I 卷（选择题） 一、单选题（每小题 5 分，共 40 分） 1．若 y   a 2  3a  3 a x 是指数函数，则有（ ） A． a  1 或 2 B． a  1 C． a  2 D． a  0 且 a �1 2．若函数 y  f  x 在区间[a，b]上满足 f  a  �f  b   0 ，则 y  f  x A．有且仅有一个零点 B．至少有一个零点 C．至多有一个零点 D．可能没有零点 3．下列运算中正确的是（ 在区间（a，b）上（ ） 8  3  A． 2 � 14  83 � m 2 m n � 3 B． � � � n  3 C． log 9 81  9 4．已知函数 f  x D． xy lg xy  z lg z 是定义域 R 为的奇函数，当 x  0 ，当 � 1� f� lg � 25 � 5� ，则实数 a  （ A． lg B． 2 f  x   10ax ，（ a 为常数），若 ） 2 C． 1 2 D．  1 2 x �2 � f  x   � � x  2 5．函数 的零点所在的区间为（ ） �3 � A．  3, 2  B．  2, 1 C．  1, 0  D．  0,1 ） 6．已知 a  log 0.2 2 ， A． c  a  b 7．函数 b  0.32 ， c  20.3 ，则（ ）  f  x   log 2  x 2  2 2  的值域为（ ） 3 A． (�, ) 2 3 B． (�, ] 2 3 C． ( , �) 2 3 D． [ , �) 2 8．函数 y  log a  x  1 (a  0 D． a  b  c C． b  c  a B． a  c  b ，且 a �1 )与函数 y  x 2  2ax  1 在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题 5 分，共 20 分） 9．下列指数式与对数式互化正确的是（ A． 54  625 与 log 4 625  5 ） B． 102  0.01 与 lg 0.01  2 4 �1 � 1 �  16 与 log 4 16  C． � �2 � 2 1 D． 9 2  3 与 log9 3  1 2 10．历史上数学计算方面的三大发明为阿拉伯数字、十进制和对数，常用对数曾经在化简计算上为 人们做过重大贡献，而自然对数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.现有如下四个关于对 数的运算，其中正确的是（ ） A． C． ln e2  2 B． log3 4 �log 3 2  log 3 8 D． lg125  3  3lg 2 log 2 3 �log 3 4 �log 4 2  1 11．下列各组函数中，不表示同一函数的是（　　） A． y  C． y  x 2 B． y  ln e x 与 y  e ln x 与 y  x2 x2 1 x 1 与 y  x  1 12．（多选题）设 a , b, c D． y  lg( x  1)  lg( x  1) 与 都是正数，且 9a  15b  25c ，那么（ A． ab  bc  2ac B． ab  bc  ac 1 2 1 C．   c b a D． y  lg x 1 x 1 ） 2 2 1   c a b 第 II 卷（非选择题） 三、填空题（每小题 5 分，共 20 分） log 25 45  log3 5  m 13．已知 ______． ，则用 m 表示  14．计算： 2 lg 2  2  lg 2 � lg 5   lg 2  2  lg 2  1  ____. 1 15．函数 f ( x)  xg( 2 x  1  n) 为偶函数，则实数 n 的值为___________. 16．若函数 y  4x  x2  a 有且只有 2 个零点，则 a 的取值范围是___________. 四、解答题（共 70 分） 17．（10 分）计算下列各式： （1） lg 25  lg 2 � lg 50   lg 2  2  2 1  � 27 �3  �   0.002  2  10 （2） � � 8 �  5 2   1   2 0 �3 � 2  3 � � �2 � 18．（12 分）某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增长率为 1.2%，试解答下面的问题： （1）写出该城市的人口总数 y （万人）与年份 x （年）的函数关系式； （2）计算 10 年以后该城市人口总数（精确到 0.1 万人）. 9 10 （参考数据：1.012 �1.113 ，1.012 �1.127 ） 19．（12 分）已知函数 f ( x)  4 x  k � 2x 1  k ， x �[0,1] （1）当 k  1 时，求 f ( x) 的值域； （2）设 f ( x) 的最小值 g (k ) ，求 g ( k ) 20．（12 分）定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足：当 x �( �, 0) 时， f ( x)   x 2  mx  1 ． （1）求 f ( x) 的解析式； （2）若函数 f ( x) 有五个零点，求实数 m 的取值范围 21．（12 分）已知函数 （1）解不等式 f ( x) =b � ax log a  x  1  f  1 ； （ a ， b 为常数， a  0 且 a �1 ）的图象经过点 A  1,1 ， B  3, 4  ． （2）设实数 m  2 ，函数 g  x   f  2x   f  x  ， x � 2, m  ，求 g  x 的最小值 1  ax f ( x )  log 1 ( ) x  1 为奇函数， a 为常数. 22．（12 分）设 2 （1）求 a 的值； （2）证明： f  x 在  1, � 内单调递增； x �1 � f  x   � � m 3, 4  上的每一个 x 的值，不等式 （3）若对于  恒成立，求实数 m 的取值范围. �2 � 参考答案 1．C y   a 2  3a  3 a x 因为 是指数函数， � a 2  3a  3  1 � a0 . 所以 � ，解得 � a � 1 � a2 2．D 1, x  2 � � f  x  � 0, 2  x  2 例如， ，在区间 上满足 ，但是 f（x）在 �1, x  2 f  2  �f  2   1  0  2,2 � 区间  2, 2  上有无数个零点； �1, x �0 f  x  � 1, x  0 ，在区间  2,2 上满足 f  2  �f  2   1  0 ，但是 f（x）在区间 又如， �  2, 2 上没有零点. 3．B (3   ) 2    3   ， 对于 A， 3π0 所以 ，故 A 错； 1 对于 B， 对于 C，  3 1  3 (m 4 n 8 )8  (m 4 )8 (n 8 )8  log9 81  2 m2 n3 ，故 B 正确； ，故 C 错； xy 对于 D， lg z  lg x  lg y  lg z ，故 D 错. 4．A 由题意可知，函数 f  x 是定义域 R 为的奇函， � 1� f� lg � f   lg 5    f  lg 5  25 所以 � 5 � ， 所以 f  lg 5   25 f  x   10ax f  lg 5   10a lg 5  10lg5  5a  25 又当 x  0 ，当 ，所以 ，所以 a  2 . a 5．C x �2 � 35 9 f  x   � � x  2 f (3)   0，f (2)   0 因为 是连续的减函数， ， �3 � 8 4 f  1  有 3 7  1  2  0 ， f  0   1  2  0 ， f (1)    0 ， 2 3 f (1) f (0)  0 ，所以 f  x 的零点所在的区间为  1,0  ． 6．D a  log 0.2 2  0  b  0.32  1  c  20.3 ， ∴a  b  c . 7．B 2 y  log 2 x  0, � 由于 0   x  2 2 ≤ 2 2 ，且 在 上递增， 3 log 2 2 2  log 2 2 2  3 3 (�, ] 2 . 2 ，所以 f  x  的值域为 8．C 当 a  1 时， y  log a  x  1 在区间  1, � 上单调递增， 2   4  a 2  1   x  a  a  1 此时 y  x  2ax  1 的对称轴为 ，且对应方程的判别式 ，故 A、B 均不满足；当 0  a  1 时， y  log a  x  1 在区间  1, � 上单调递减，   2   4 a2  1  0 x  a  0  a  1 此时 y  x  2ax  1 的对称轴为 ，且对应方程的判别式 ，故 C 满足．D 不满足. 9．BD 对于 A， 对于 B， 54  625 可化为： 102  0