目录 考点一：排列..................................................................................................2 题型一、排列数计算...........................................................................3 题型二、排列在实际问题中的应用........................................................5 课后综合巩固练习..................................................................................................6 考点一：排列 m( m ≤ n) n n 排列：一般地，从 个不同的元素中任取 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个 不同元素中取出 m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） m ( m ≤ n) n n 排列数：从 个不同的元素中取出 个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 排列数公式： A mn 表示． A mn  n(n  1)(n  2)L (n  m  1) ， m ，n �N  ，并且 m≤ n ． 全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个不同元素的一个全排列． n n! 0!  1 n 1 n 的阶乘：正整数由 到 的连乘积，叫作 的阶乘，用 表示．规定： ． 排列组合一些常用方法 1．特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确 ， 层次清楚，不重不漏． 3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列， 然后再给那“一捆元素”内部排列． 5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法： n 个相同元素，分成 m(m ≤ n) 组，每组至少一个的分组问题——把 n 个元素排成一排， m 1 从 n  1 个空中选 m  1 个空，各插一个隔板，有 Cn 1 ． 7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均 分成 n 堆（组），必须除以 n ！，如果有 m 堆（组）元素个数相等，必须除以 m ！ 8．错位法：编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求 小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当 n  2 ，3，4，5 时的错位数各为 1，2，9，44．关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素 的错位排列的问题． 实际问题的解题策略 排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ① 元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ② 位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③ 间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是 分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答． 具体的解题策略有： ① 对特殊元素进行优先安排； ② 理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③ 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④ 对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤ 顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥ 对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦ 对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型． 题型一、排列数计算 1．若 2008 M  A11  A22  A33  �  A2008 A．3 ( ) ，则 M 的个位数字是 　　 B．8 【分析】根据题意，由排列数公式计算可得 得 A66 ， A77 ，� ， 2008 A2008 C．0 A11  1 ， D．5 A22  2 ， A33  6 的个位数都是 0，由此分析可得答案． ， A44  24 ， A55  120 ，分析可 【解答】解：根据题意，由排列数公式计算可得 A66 ， A77 ，� ， 2008 A2008 A11  1 ， A22  2 ， A33  6 ， A44  24 ， A55  120 ， 的个位数都是 0， 1  2  6  24  33 ， 则 M 的个位数字是 3； 故选： A ． 【点评】本题考查排列数公式的应用，解题时要注意总结规律． 2．已知自然数 x 满足 3 Ax31  2 Ax2 2  6 Ax21 A．3 ，则 B．5 x( 　　 ) C．4 D．6 【分析】利用排列数公式构造关于 x 的方程，由此能求出结果． 【解答】解：Q 自然数 x 满足 3 Ax31  2 Ax2 2  6 Ax21  3( x  1) x ( x  1)  2( x  2)( x  1)  6( x  1) x 整理，得： 解得 3x 2  11x  4  0 ， ， ， 1 或 x   （舍 ) ． 3 x4 故选： C ． 【点评】本题考查实数值的求法，二查排列数公式的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考 查化归与转化思想，考查创新意识、应用意识 3．解下列各式中的 n 值． （1） 90 An2  An4 ；（2） An4 gAnn44  42 Ann22 【分析】（1）利用排列数公式得到 ． 90n(n  1)  n(n  1)(n  2)(n  3) n ，由此能求出 ． n! g(n  4)!  42( n  2)! （2）利用排列数公式和组合数公式得到 ( n  4)! ，从而 n(n  1)  42 ，由此能求 出n． Q 90 An2  An4 【解答】解：（1） ，  90n(n  1)  n(n  1)(n  2)(n  3)  n 2  5n  84  0 ，  ( n  12)(n  7)  0 解得 n  12 或 ， ， n  7 ) （舍 ．  n  12 ． （2）Q An4 gAnn44  42 Ann22 ， n! g( n  4)!  42( n  2)! ( n  4)! ，   n(n  1)  42 解得 n7 或 ，  n2  n  42  0 n  6 ， ) （舍 ， n  7 ． 【点评】本题考查方程的解法，考查排列数公式、组合数公式等基础知识，考查推理论证能力、运 算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． 题型二、排列在实际问题中的应用 ( ) 1．用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字且大于 3000 的四位数，这样的四位数有 　　 A．250 个 B．249 个 C．48 个 D．24 个 【分析】由排列组合及简单的计数问题得：用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字且大于 3000 的四位数，这样的四位数有 24  24  48 个，得解． 【解答】解：①当千位数字为 3 时，由数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的四位数有 个， ② 当千位数字为 4 时，由数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的四位数有 A43  24 个， A43  24 综合①②得： 用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字且大于 3000 的四位数，这样的四位数有 24  24  48 个， 故选： C ． 【点评】本题考查了排列组合及简单的计数问题． 2．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必 ( ) 须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为 　　 A．60 B．48 C．36 D．24 【分析】由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得：不同的排课方法数为 A22 A22 A32  24 ，得解． 【解答】解：先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理， 再将此新元素与化学全排，再在 3 个空中选 2 个空将数学和物理插入即可， 即不同的排课方法数为 A22 A22 A32  24 ， 故选： D ． 【点评】本题考查了排列组合中的相邻问题与不相邻问题． 3．某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻， ( ) 且数学不排第一节，则不同排法的种数为 　　 A．24 B．36 C．42 【分析】由排列组合中的捆绑问题得：不同排法的种数为 D．48 A22 A44  A22 A33  48  12  36 ，得解． 【解答】解：先将语文与化学捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排，再减去数学排第一 节的排法即可 即不同排法的种数为 A22 A44  A22 A33  48  12  36 故选： B ． 【点评】本题考查了排列组合中的捆绑问题． ， 课后综合巩固练习 ( ) 1．六位同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有 　　 A．180 种 B．240 种 C．360 种 D．720 种 【分析】根据题意，首先计算 6 人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，甲站在乙的左边与甲 站在乙的右边的数目是相等的，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，6 人并排站成一排，有 A66 种情况， 而其中甲站在乙的左边与甲站在乙的右边是等可能的， 则其情况数目是相等的， 1 6 则甲站在乙的左边的情况数目为 2 �A6  360 ； 故选： C ．