专题 02 函数的奇偶性与单调性 【方法点拨】 1. 若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)＝f(|x|)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论． 2. 以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范 围，是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解 决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度. 【典型题示例】 例1 设函数 f(x)＝ln(1＋|x|)－ ，则使得 f(x)>f(2x－1)成立的 x 的取值范围是(　　) A. B.∪(1，＋∞) C. D.∪ 【答案】A 【分析】发现函数 f(x)为偶函数，直接利用 f(x)＝f(|x|)，将“变量化正”，转化为研究函数函 数 f(x)在（0，+∞）上单调性，逆用单调性脱“f”． 【解析】易知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)为偶函数． 当 x≥0 时，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此时 f(x)单调递增． 所以 f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得<x<1.故选 A. 例2 3 x 已知函数 f ( x )  x  2 x  e  则实数 a 的取值范围是 1 , 其中 e 是自然对数的底数. f (a  1)  f (2a 2 ) ≤ 0 , ex . 1 [1, ] 【答案】 2 【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将 f (a  1)  f (2a 2 ) ≤ 0 移项，运用奇偶性再将 负号移入函数内，逆用单调性脱“f”． 【解析】因为 f ( x)   x 3  2 x  3x� 2 e 又因为 f ' ( x) ‫׳‬ 2 x 1  e x   f ( x) ， 所以 f ( x) 是奇函数 ex e x 3x 2 2 2 e x e x 0 ，所以数 f ( x) 在 R 上单 调递增 f ( a  1)  f (2a 2 ) ≤ 0 由 、 f ( x) 是奇函数得 f (2a 2 ) ≤- f (a  1)= f (1  a) 由 f ( x) 在 R 上单调递增，得 2a 2 �1  a ，即 2a 2  a  1 �0 ，解得 ， 1 1 �a � 2， 1 [1, ] 故实数 a 的取值范围为 2 . x x 2 已知函数 f  x   e  e +1 （ e 为自然对数的底数），若 f (2 x  1)  f ( 4  x )  2 ， 则实数 x 的取值范围为 ． 例3 【答案】  1, 3 【分析】本题是例 2 的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有 奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大. 【解析】令 f (2 x  1)  f (4  x 2 )  2 由 得 ，易知 F ( x) 是奇函数且在 R 上单调递增 f (4  x 2 )  1  1  f (2 x  1)    f (2 x  1)  1 F (4  x 2 )   F (2 x  1) 即 F ( x) 由 由 F ( x )  f ( x)  1  e x  e  x F ( x) 是奇函数得 在  F (2 x  1) =F (1  2 x) F (4  x 2 )  F (1  2 x ) ，故 2 2 R 上单调递增，得 4  x  1  2 x ，即 x  2 x  3  0 ，解得 1  x  3 ， 故实数 x 的取值范围为  1, 3 . � 21 x , x �1 f ( x )  � 2 例 4 已知函数 2 x 1 , x  1 ，若 f (2 x  2) �f  x  x  2  ，则实数 x 的取值范围 � 是（ A． C． ） [2, 1] R B． [1, �) D． ( �, 2] U[1, �) 【答案】D � 21 x , x �1  x 1 f ( x )  2 � 【解析】函数 ，故 关于直线 对称，且在 ， 上 2 x 1 , x  1 f ( x) [1 �) � x 1 单减，函数 f ( x) 的图象如下： (2 x  2)�f ( x 2  x  2) Qf ，且 1 7 x 2  x  2  ( x  ) 2   1 恒成立， 2 4 | 2 x  2  1| �x 2  x  2  1 ，即 | 2 x  3 | �x 2  x  1 ， 3 3 x� x� 2 2 当 2 时，不等式化为： 2 x  3�x  x  1 ，即 x  3x  4�0 ，解得 x �R ，即 2； 当 x 3 2 2 2 时，不等式化为： 3  2 x�x  x  1 ，即 x  x  2�0 ，解得 x� 2 或 x�1 ，即 x� 2 或 综上， 1�x  3 ； 2 f (2 x  2)�f ( x 2  x  2) 时，实数 x 的取值范围是 (� 2]U[1 �) ， ， ． 故选： D ． 例 5 已知函数 f ( x )  3x  3 x ， f (1  2 log3 t )  f (3log 3 t  1) �log 1 t 3 ，则 t 的取值范围 是 【答案】 ． [1, �) 【分析】将已知 f (1  2 log 3 t )  f (3log 3 t  1) �log 1 t 量”的原则，移项变形为 3 f (3log 3 t  1) �log 1 t  f (1  2 log 3 t ) 3 是奇函数，故进一步变为 F ( x)  f ( x)  x 解之得 t �1 . ，易知 f ( x)  3x  3 x f (3log3 t  1)  (3log3 t  1) �f (2 log 3 t  1)  (2 log 3 t  1) （#），故下一步需构造函数 性，而 按照“左右形式相当，一边一个变 F ( x)  f ( x)  x 单增，故（#）可化为 ，转化为研究 log 3 t �0 F ( x )  f ( x)  x ，即 的单调 3log3 t  1 �2 log 3 t  1 ， 【巩固训练】  1．若函数 f ( x)=x ln x  a  x 2.设函数 f  x   ln  1  x   2  为偶函数，则实数 a = 1 1  x 2 ，则使得 f  x   f  1 成立的 x 的取值范围是（ ）． A．  1, � B．  �, 1 U  1, � C．  1,1 D．  1, 0  U  0,1 3.已知函数 f ( x)  1  2x 2 ，则满足 f ( x  5 x)  f (6)  0 的实数 x 的取值范围是 2x  ．  | x | 3 x  1 ，若 f (a )  f a  2  2 ，则实数 a 的取值范围______ 4. 已知函数 f ( x)  x� 2 ____. �x 2  2 x, x �0 f ( x )  � 2 5.已知函数 ，若 f  2  a 2   f  a  ，则实数 的取值范围是____ �2 x  x , x  0 a ______. � 14 � � 1� b  f 0.2 � a  f ln � � �， 6.已知函数 g  x   e x  e  x ， f  x   xg  x  ，若 ， � 3� � � c  f  51.2  A． ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为（ bac B． 7. 【多选题】关于函数 C． bca D． 1� 2 � f ( x)  � 1 x � x � e  1 �下列结论正确的是（ ） A．图像关于 y 轴对称 C．在 cba ）  �,0  上单调递增 B．图像关于原点对称 D． f  x 恒大于 0 abc x 8.已知函数 f  x   2020  log 2020 f  2 x  1  f  x  1  2  0   x 2  1  x  2020 x  1 ，则关于 的不等式 x 的解集为（ � 1 �  , �� A． � 2020 � � B．  2020, � 2� � �,  � 3� � �2 �  , �� �3 � C． � 9.已知函数 A.  �, 7  D． � f ( x)  x 2  f (m 2  3m)  2 ）. 2 x2 1 3x  1 .若存在 m∈(1,4)使得不等式 f (4  ma )  成立，则实数 a 的取值范围是 B.  �, 7 C.  �,8 D.  �,8 【答案与提示】 1．【答案】1 【解析】  g( x)= ln x  a  x 2  奇函数， g(0)= ln a  0 ，a 1. 2. 【答案】B 【解析】 x  1 f  x 偶函数，且在 (0, �) 单增， f  x   f  1 转化为 x 1 ，解得 x  1 或 . 3.【答案】（2,3） 【解析】 2 x3 f  x 2 奇函数，且单减， f ( x  5 x)  f (6)  0 转化为 x  5 x  6  0 ，解得 2 . 4. 【答案】 【解析】设 ( 2,1) g ( x)  x� | x | 3 x ，则 g ( x) 奇函数，且单增，而 f ( x )  g ( x)  1 ，由 f (a )  f  a 2  2   2 得 f  a 2  2   1  1  f (a) 即 g  a 2  2    g (a )  g (a