2022 届高三理科数学解答题专项训练（五） 限时：75min 姓名：__________ 班级_____________ 得分_____________ 1.（10 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a>b，a＝5，c＝ 6，sin B＝. (1)求 b 和 sin A 的值； (2)求 sin 的值． 2.（10 分）设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝－3，a2＝－1.若数列为等差数列． (1)求数列{an}的通项公式 an； (2)设数列的前 n 项和为 Tn，若∀n∈N*都有 Tn>m 成立，求实数 m 的取值范围． 3.（12 分）2019 年 12 月 27 日，国家统计局公布全国规模以上工业企业月累计营业收入利润 率数据如下表： 月份累 1～2 1～3 1～4 1～5 1～6 1～7 1～8 1～9 1～10 1～11 计 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.79 5.31 5.52 5.72 5.86 5.87 5.87 5.91 5.85 5.91 月份累 计代码 x 营业收 入利润 率 y(%) (1)根据表中有关数据请在下图中补充完整 y 与 x 的折线图，判断y＝a＋bx 与y＝c＋d 哪一个 更适宜作为 y 关于 x 的回归方程类型，并说明理由； (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程(系数精确到 0.01)； (3)根据(2)得出的回归方程，预测 1～12 月月累计营业收入利润率(%)的值为多少？ 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为β＝，α＝v－βu. 参考数据： x y w ∑ (xi－x)2 ∑ (wi－w)2 5.50 5.66 2.25 82.50 4.52 ∑ (xi－x) ∑ (wi－w) (yi－y) (yi－y) 8.14 2.07 表中 wi＝，w＝∑wi，≈3.32. 4.（12 分）已知圆锥曲线＋＝1 过点 A(－1，)，且过抛物线 x2＝8y 的焦点 B. (1)求该圆锥曲线的标准方程； (2)设点 P 在该圆锥曲线上，点 D 的坐标为(，0)，点 E 的坐标为(0，)，直线 PD 与 y 轴交于 点 M，直线 PE 与 x 轴交于点 N，求证：|DN|·|EM|为定值． 5.（12 分）在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，△ABC 为等腰直角三角形，AA1＝AB＝AC＝2，平 面 BB1C1C⊥平面 ABC，点 E 为棱 A1A 的中点，∠B1BC＝60°. (1)证明：平面 B1CE⊥平面 BB1C1C； (2)求二面角 A－B1C－E 的余弦值． 6.（12 分）已知函数 f(x)＝xex－2ax＋a(a∈R)． (1)当 a＝0 时，求 f(x)在[－2，2]上的最值； (2)设 g(x)＝2ex－ax2，若 h(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，求 a 的取值范围． 7.（10 分）在下面两个题目中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按 所做的第一题计分． （一）．选修 4－4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为(θ 为参数)，A(2，0)，P 为曲线 C 上的一个动点． (1)求动点 P 对应的参数从变动到时，线段 AP 所扫过的图形的面积； (2)若直线 AP 与曲线 C 的另一个交点为 Q，是否存在点 P，使得 P 为线段 AQ 的中点？若存 在，求出点 P 的直角坐标；若不存在，请说明理由． （二）．选修 4－5：不等式选讲 已知 f(x)＝2|x＋1|＋|2x－1|. (1)若 f(x)>f(1)，求实数 x 的取值范围； (2)f(x)≥＋(m>0，n>0)对任意的 x∈R 都成立，求证：m＋n≥. 参考答案 1.解　(1)在△ABC 中，由 a>b，知 A>B，则 B<. 由于 sin B＝，所以 cos B＝. 由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝13， 则 b＝. 又＝，得 sin A＝＝. ∴b＝，且 sin A＝. (2)由(1)及 a<c，得 cos A＝＝， 所以 sin 2A＝2sin Acos A＝. 又 cos 2A＝1－2sin2A＝－. 所以 sin＝sin 2Acos ＋cos 2Asin ＝. 2.解　(1)由 a1＝－3，a2＝－1， 得 S1＝－3，S2＝－4，则＝－3，＝－2. ∵数列为等差数列， ∴＝－3＋(n－1)·1＝n－4，∴Sn＝n(n－4)． 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5. 当 n＝1 时，a1＝－3，也满足 an＝2n－5. 因此 an＝2n－5，n∈N*. (2)∵＝＝， ∴Tn＝. ∴Tn＋1－Tn＝＝， ∴当 n＝1 时，Tn＋1<Tn，即 T2<T1；当 n≥2 时，Tn＋1>Tn，∴Tn≥T2. ∴∀n∈N*，Tn≥T2＝－， ∵∀n∈N*都有 Tn>m 成立，∴m<－. ∴实数 m 的取值范围为. 3.解　(1)补充完整的折线图如下，可知选用y＝c＋d 更适宜．理由：根据折线图知折线的形 状更接近 y＝c＋d 的图象． (2)令 w＝，先建立 y 关于 w 的线性回归方程． ∵d＝＝≈0.46， ∴c＝y－dw＝5.66－0.46×2.25≈4.63， ∴y 关于 w 的线性回归方程为y＝4.63＋0.46w， ∴y 关于 x 的回归方程为y＝4.63＋0.46. (3)由(2)可知，当 x＝11 时，y＝4.63＋0.46×3.32≈6.16， ∴预测 1～12 月月累计营业收入利润率(%)的值为 6.16. 4.(1)解　抛物线 x2＝8y 的焦点 B 的坐标为(0，2)． 将点 A(－1，)，B(0，2)代入＋＝1， 得解得 所以该圆锥曲线的标准方程为＋＝1. (2)证明　由(1)可知该圆锥曲线为椭圆，且 D(，0)，E(0，2)． 设 P(x0，y0)，x0≠，y0≠2， 则直线 PD：y＝(x－)， 令 x＝0，得 M 点的纵坐标 yM＝， 所以|EM|＝. 直线 PE：y＝x＋2，令 y＝0，得 N 点的横坐标 xN＝，所以|DN|＝. 所以|DN|·|EM|＝· ＝· ＝ ＝. 因为点 P 在椭圆上， 所以＋＝1，即 y＋2x＝4， 所以|DN|·|EM|＝ ＝＝4， 故|DN|·|EM|为定值． 5.(1)证明　如图，分别取 BC，B1C 的中点 O，F，连接 OA，OF，EF， 因为 AB＝AC，O 为 BC 的中点，所以 AO⊥BC. 因为平面 BB1C1C⊥平面 ABC，且平面 BB1C1C∩平面 ABC＝BC，AO⊂平面 ABC， 所以 AO⊥平面 BB1C1C. 因为 F 是 B1C 的中点， 所以 FO∥BB1，且 FO＝BB1. 因为点 E 为棱 A1A 的中点， 所以 AE∥BB1，且 AE＝BB1. 所以 FO∥AE，且 FO＝AE，所以四边形 AOFE 是平行四边形，所以 EF∥AO. 因为 AO⊥平面 BB1C1C，所以 EF⊥平面 BB1C1C. 因为 EF⊂平面 B1CE，所以平面 B1CE⊥平面 BB1C1C. (2)解　连接 B1O，由题意易证 B1O⊥BC，则 B1O⊥平面 ABC，故 OA，OC，OB1 两两垂直． 以 O 为坐标原点，OA，OC，OB1的方向分别为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O－xyz， 则 A(，0，0)，C(0，，0)，B1(0，0，)，E， 故B1C＝(0，，－)，CE＝，AC＝(－，，0)． 设平面 B1CE 的法向量为 m＝(x1，y1，z1)， 则 令 z1＝1，得 m＝(0，，1)． 设平面 AB1C 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)， 则 令 y2＝，得 n＝(，，1)， 则 cos 〈m，n〉＝＝＝. 由空间图形知二面角 A－B1C－E 为锐二面角， 则二面角 A－B1C－E 的余弦值为. 6.解　(1)当 a＝0 时，f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex(x＋1)． 当 x<－1 时，f′(x)<0；当 x>－1 时，f′(x)>0. 当 x∈[－2，2]时，f(x)在[－2，－1)上单调递减，在(－1，2]上单调递增，∴f(x)min＝f(－1)＝ －， 又 f(－2)＝－，f(2)＝2e2，∴f(x)max＝2e2. 综上，f(x)在[－2，2]上的最大值为 2e2，最小值为－. (2)h(x)＝f(x)－g(x)有两个零点， ⇒(x－2)ex＋a(x－1)2＝0 有两解． 当 x＝1 时，不满足题意， 当 x≠1 时，－a＝， 即 y＝－a 与 y＝的图象有两个交点， 令 F(x)＝，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)， 所以 F′(x)＝＝＝， 当 x∈(－∞，1)时，F′(x)<0，所以 F(x)单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，F′(x)>0，所以 F(x)单调递增． F(x)的大致图象如图所示， 所以由 y＝－a 与 F(x)有两个交点，可得到－a<0， 所以 a>0， 综上 a 的取值范围是(0，＋∞)． 7.（一）解　(1)设 θ＝时对应的点为 M，θ＝时对应的点为 N，O 为坐标原点， 线段 AP 扫过图形的面积 S＝S△AMN＋S 弓形＝S△OMN＋S 弓形＝S 扇形 OMN＝×12×＝. (2)设 P(cos θ，sin θ)， ∵P 为线段 AQ 的中点，∴Q(2cos θ－2，2sin θ)， ∵Q 在曲线 C 上，曲线 C 的普通方程为 x2＋y2＝1， ∴(2cos θ－2)2＋(2sin θ)2＝1， ∴8cos θ＝7，cos θ＝，sin θ＝±. 此时点 P 的直角坐标为. （二）(1)解　f(x)>f(1)，即 2|x＋1|＋|2x－1|>5. ① 当 x>时，2(x＋1)＋(2x－1)>5，得 x>1； ② 当－1≤x≤时，2(x＋1)－(2x－1)>5，得 3>5，不成立； ③ 当 x<－1 时，－2(x＋1)－(2x－1)>5，得 x<－. 综上，所求的 x 的取值范围是∪(1，＋∞)． (2)证明　因为 2|x＋1|＋|2x－1|＝|2x＋2|＋|2x－1|≥|(2x＋2)－(2x－1)|＝3，所以 f(x)≥3 恒成立． 所以＋≤3. 因为 m>0，n>0 时，＋≥2， 当且仅当 m＝n 时，等号成立， 所以 2≤3，得≥， 所以 m＋n≥2≥.